【高校数学】共役無理数とは？定義から例題まで徹底解説！
この記事では、高校数学で登場する「共役無理数」について、定義や性質、よく出るパターン問題などをわかりやすく解説します。
目次
共役無理数とは？
「共役無理数」とは、次のような形をした無理数のペアのことです。
\( a + b\sqrt{c} \) に対して、
その共役無理数は \( a – b\sqrt{c} \) です。
ここで、
- \( a, b \) は有理数（整数を含む）
- \( c \) は自然数で、かつ \( \sqrt{c} \) が無理数
このように、無理数の部分（ルート）だけ符号を反転させたものを「共役」と呼びます。
具体例と共役の見つけ方
例1：\( 2 + 3\sqrt{5} \)
この数の共役無理数は、
\( 2 – 3\sqrt{5} \)
例2：\( -1 + \sqrt{7} \)
共役無理数は、
\( -1 – \sqrt{7} \)
例3：\( \dfrac{5}{2} – \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \)
共役無理数は、
\( \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \)
ポイント
- 共役はあくまで「無理数部分」の符号を変えるだけ。
- 有理数部分はそのまま。
- 共役無理数は、積や和において便利な性質を持つ。
なぜ重要？共役無理数が使われる場面
共役無理数は、高校数学では主に以下のような場面で登場します。
1. 無理数を含む式の有理化
分母に無理数があるとき、共役無理数をかけることで分母を有理数にできます。
例：
\[ \frac{1}{2 + \sqrt{3}} に有理化をするには、分母の共役である 2 – \sqrt{3} をかけます。 \] \[ \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 – \sqrt{3}}{2 – \sqrt{3}} = \frac{2 – \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 – \sqrt{3})} \] \[ = \frac{2 – \sqrt{3}}{4 – 3} = 2 – \sqrt{3} \]
2. 方程式の解として登場する
例えば、2次方程式の解が \( x = a \pm b\sqrt{c} \) という形になると、2つの解は共役無理数の関係になります。
例：方程式 \( x^2 – 4x + 1 = 0 \) の解は、
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \]
→ このように、2つの解は「共役無理数」です。
入試レベルの例題と解説
例題1：共役無理数を使って有理化
次の式を有理化しなさい。 \[ \frac{5}{3 + \sqrt{2}} \]
解答：
分母の共役無理数は \( 3 – \sqrt{2} \)。これを分子分母にかけると、
\[ \frac{5}{3 + \sqrt{2}} \cdot \frac{3 – \sqrt{2}}{3 – \sqrt{2}} = \frac{5(3 – \sqrt{2})}{(3 + \sqrt{2})(3 – \sqrt{2})} \] \[ = \frac{15 – 5\sqrt{2}}{9 – 2} = \frac{15 – 5\sqrt{2}}{7} \]
例題2：2次方程式の解が共役無理数であることを確認
方程式 \( x^2 – 6x + 2 = 0 \) の解が共役無理数であることを確認しなさい。
解答：
解の公式より、 \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 8}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 3 \pm \sqrt{7} \] よって、解は \( 3 + \sqrt{7} \) と \( 3 – \sqrt{7} \) → 共役無理数である。
例題3：共役無理数を用いた因数分解
次の式を因数分解しなさい。 \[ x^2 – 4x + 3 \]
解答：
解の公式を使うと、 \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} = 3,\ 1 \] この場合は整数解なので共役無理数ではありませんが、もし無理数が出れば、共役無理数のペアになります。
別の例：\( x^2 – 2x – 1 \)
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \] → 解は共役無理数のペア。
まとめ
- 共役無理数とは、\( a + b\sqrt{c} \) に対して \( a – b\sqrt{c} \) の形をとる数のこと。
- 有理化や方程式の解の表現に頻繁に使われる。
- 高校数学では2次方程式、分母の有理化、因数分解などの重要分野に関係。
しっかりと共役無理数の性質と使い方を理解することで、入試問題でも自信を持って対応できるようになります！
