例1：交互に振動する数列

数列 \( a_n = (-1)^n \) は、

\( a_1 = -1, a_2 = 1, a_3 = -1, a_4 = 1, \dots \)

のように、-1 と 1 を交互にとるため、常に -1 以上 1 以下です。この数列は有界です（上界 1、下界 -1）。

例2：収束する数列

数列 \( a_n = \frac{1}{n} \) は、

\( a_1 = 1, a_2 = \frac{1}{2}, a_3 = \frac{1}{3}, \dots \)

と \( 0 \) に近づいていきますが、すべての項が \( 0 < a_n \leq 1 \) を満たしているため、有界です。

例3：定数列

数列 \( a_n = 5 \) はすべての項が 5 なので、もちろん有界です。

有界でない数列の例

例1：発散する数列

数列 \( a_n = n \) は、

\( a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 3, \dots \)

と無限に増加していきます。どんな定数 \( M \) をとっても、いずれ \( a_n > M \) となるため、この数列は有界ではありません（上に有界でない）。

例2：符号を変えながら発散する数列

数列 \( a_n = (-1)^n n \) は、

\( a_1 = -1, a_2 = 2, a_3 = -3, a_4 = 4, \dots \)

と絶対値が無限大に発散しながら符号を交互に変えるため、有界ではありません。

収束との関係

数列の収束と有界性の関係には重要な定理があります。

定理：収束数列は必ず有界である

数列 \( \{a_n\} \) がある実数 \( a \) に収束するならば、この数列は有界です。直感的にも、収束するとは「ある値に近づく」ということなので、値がどこまでも大きくなることはありません。

逆は成り立たない

しかし、有界だからといって必ずしも収束するわけではありません。例えば先ほどの \( a_n = (-1)^n \) は有界ですが収束しません。

まとめ

• 有界数列とは、項がある範囲に収まる数列。
• 上界・下界を持つ数列は有界である。
• 収束する数列は必ず有界。
• 有界でも収束しない数列は存在する。
• 発散する数列は基本的に有界ではない。

数学において「有界性」は、数列や関数の挙動を理解するうえで非常に重要な性質です。理解を深めることで、収束性や解析学の基本概念への理解が一層高まるでしょう。

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