剰余の定理は、高校数学の中でも特に「数学II」で登場する重要な定理です。多項式の割り算に関する理解を深めるための基礎知識として、大学入試にもよく出題されます。

目次

• 剰余の定理とは？
• 剰余の定理の使い方
• 例題①：多項式の余りを求める
• 例題②：係数を求める応用問題
• まとめ

剰余の定理とは？

剰余の定理は、次のように表されます：

【剰余の定理】
多項式 \( f(x) \) を \( x – a \) で割ったときの余りは、\( f(a) \) に等しい。

これは、多項式を直接割り算しなくても、単に代入すれば余りが分かるという強力な定理です。

例えば、

• 多項式 \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \) を \( x – 1 \) で割ったときの余りは、\( f(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 + 2 = 6 \) です。

剰余の定理の使い方

使い方はとてもシンプルです。以下のステップに従えばOKです。

1. 割る式が \( x – a \) の形であることを確認する。
2. 割られる多項式 \( f(x) \) に対して、\( x = a \) を代入する。
3. その値が余りになる。

実際の入試や模試でも、この性質を使ってすばやく余りを求めることができます。

例題①：多項式の余りを求める

例題：
多項式 \( f(x) = 2x^3 – 5x^2 + 3x – 4 \) を \( x – 2 \) で割ったときの余りを求めよ。

解答：
まず、\( x = 2 \) を代入します：

\[ f(2) = 2(2)^3 – 5(2)^2 + 3(2) – 4 = 2 \cdot 8 – 5 \cdot 4 + 6 – 4 = 16 – 20 + 6 – 4 = -2 \]

したがって、余りは \(-2\) です。

例題②：係数を求める応用問題

例題：
多項式 \( f(x) = ax^2 + bx + 3 \) を \( x – 1 \) で割ったときの余りが \( 5 \)、
\( x + 1 \) で割ったときの余りが \( -1 \) である。
このときの \( a \) と \( b \) の値を求めよ。

解答：

まず、\( f(1) = a(1)^2 + b(1) + 3 = a + b + 3 \) であり、これが \( 5 \) に等しい。

\[ a + b + 3 = 5 \quad \Rightarrow \quad a + b = 2 \tag{1} \]

次に、\( f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + 3 = a – b + 3 \) であり、これが \( -1 \) に等しい。

\[ a – b + 3 = -1 \quad \Rightarrow \quad a – b = -4 \tag{2} \]

(1) と (2) を連立すると：

• (1) + (2): \( 2a = -2 \Rightarrow a = -1 \)
• 代入して \( b = 3 \)

したがって、\( a = -1, \ b = 3 \) です。

まとめ

• 剰余の定理では、\( f(x) \) を \( x – a \) で割ったときの余りは \( f(a) \) になる。
• 直接割り算をしなくても、代入するだけで余りがわかる。
• 入試では「余り」だけでなく「係数」を求める応用問題にも使われる。

剰余の定理はシンプルですが非常に強力なツールです。繰り返し練習して、確実に使いこなせるようにしましょう。