高校数学の要！部分分数分解のやり方と例題を徹底解説
部分分数分解は、分数関数を積分する際や、代数的な計算を簡単にするために非常に重要な手法です。高校数学IIで学ぶこのテクニックを、初心者にもわかりやすく、徹底的に解説します。
目次
部分分数分解とは
「部分分数分解」とは、複雑な分数式を、より簡単な分数の和に分解することを言います。たとえば、
\[ \frac{3x+5}{(x+1)(x+2)} \]
のような式を、
\[ \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} \]
という形に直すことで、計算や積分が簡単になります。
部分分数分解の基本ステップ
- 分母を因数分解する
- 仮分数の形を立てる
- 両辺の分母を払って係数比較
- 定数を求めて整理する
以下の具体例で詳しく見ていきましょう。
一次式の積のときの例題
例題1：
\[ \frac{5x + 1}{(x+1)(x+2)} \] を部分分数分解せよ。
まず、次の形に分解できると仮定します：
\[ \frac{5x + 1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} \]
両辺の分母を払うと：
\[ 5x + 1 = A(x+2) + B(x+1) \]
これを展開して整理すると：
\[ 5x + 1 = Ax + 2A + Bx + B = (A + B)x + (2A + B) \]
係数比較より、
- \(A + B = 5\)
- \(2A + B = 1\)
これを連立方程式として解くと、
- \(A = -4\)
- \(B = 9\)
したがって、
\[ \frac{5x + 1}{(x+1)(x+2)} = \frac{-4}{x+1} + \frac{9}{x+2} \]
重解（同じ因数が複数）のときの例題
例題2：
\[ \frac{2x + 3}{(x+1)^2} \] を部分分数分解せよ。
重解があるときは次のように分解します：
\[ \frac{2x + 3}{(x+1)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} \]
両辺の分母を払うと：
\[ 2x + 3 = A(x+1) + B \]
展開して：
\[ 2x + 3 = Ax + A + B \]
係数比較より：
- \(A = 2\)
- \(A + B = 3\) → \(2 + B = 3\) → \(B = 1\)
よって、
\[ \frac{2x + 3}{(x+1)^2} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} \]
二次式がある場合の分解
例題3：
\[ \frac{x^2 + 1}{(x+1)(x^2 + 2)} \] を部分分数分解せよ。
二次式があるときは、次のように分解します：
\[ \frac{x^2 + 1}{(x+1)(x^2 + 2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2} \]
両辺の分母を払うと：
\[ x^2 + 1 = A(x^2 + 2) + (Bx + C)(x+1) \]
右辺を展開すると：
\[ Ax^2 + 2A + Bx^2 + Bx + Cx + C \]
\[ = (A + B)x^2 + (B + C)x + (2A + C) \]
よって、係数比較で：
- \(A + B = 1\)
- \(B + C = 0\)
- \(2A + C = 1\)
この連立方程式を解くと：
- \(A = 1\)
- \(B = 0\)
- \(C = 0\)
したがって、
\[ \frac{x^2 + 1}{(x+1)(x^2 + 2)} = \frac{1}{x+1} \]
（※実際には残りの項が0になることもあります）
部分分数分解の活用例
部分分数分解は積分の場面で特に活用されます。
例題4：
次の積分を求めよ：
\[ \int \frac{5x + 1}{(x+1)(x+2)} dx \]
上の例題1で求めた分解を利用すると：
\[ \int \left( \frac{-4}{x+1} + \frac{9}{x+2} \right) dx = -4 \ln|x+1| + 9 \ln|x+2| + C \]
このように、複雑な積分も部分分数分解によって簡単に解けるようになります。
以上が、部分分数分解のやり方と具体的な例題の解説です。高校数学の基礎を固めるためにも、しっかりと理解しておきましょう。
