絶対にわかる！因数分解の公式と完全攻略テクニック
因数分解は高校数学で最も重要な基本テクニックの一つです。このページでは、因数分解の基本公式から応用的なテクニックまで、徹底的に解説します。
目次
因数分解とは
因数分解とは、ある多項式を、掛け算の形（積の形）に直す操作のことです。例えば、
\( x^2 – 9 \) を \( (x – 3)(x + 3) \) のように表すのが因数分解です。
因数分解の目的は、方程式を解いたり、式を簡単にしたりすることです。特に平方完成や微分積分で役立ちます。
基本公式一覧とその解説
1. 共通因数でくくる
\( ax + ay = a(x + y) \)
すべての項に共通する因数を取り出して、括弧でまとめます。
例： \( 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) \)
2. 乗法公式の逆（展開の逆）
- \( a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) \)（差の積）
- \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) の逆：
\( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \) - \( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \) の逆：
\( a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2 \)
例： \( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \)
例： \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \)
3. 因数分解公式（積が一定の2次式）
\( ax^2 + bx + c \) の形に注目して、以下のように分解します：
\( ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s) \) となるように因数を探す。
例： \( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)
4. 完全立方公式
- \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) \)
- \( a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \)
例： \( x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 – 2x + 4) \)
因数分解の進め方と考え方
因数分解のコツは、次の順序で考えることです：
- すべての項に共通因数があるか確認（くくる）
- 2次式や3次式なら、乗法公式の形にできるか探す
- 因数分解公式で分けられそうかチェック
- 項の数が多ければ、グループに分けてくくる（分組み）
例： \( x^2 + 5x + 6 \)
→ \( 2つの数の積が6で和が5 → 2と3 → (x + 2)(x + 3) \)
頻出パターンとテクニック
1. 分組みで因数分解
例： \( ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y) \)
2. 係数が1でない2次式
例： \( 2x^2 + 7x + 3 \)
積が \( 2 \times 3 = 6 \)、和が7 → 6と1
\( 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3) \)
3. 変数の置き換え
式が複雑なとき、別の変数に置き換えてから因数分解する。
例： \( x^4 – 5x^2 + 6 \)
→ \( y = x^2 \) とおくと \( y^2 – 5y + 6 = (y – 2)(y – 3) \)
→ 戻して \( (x^2 – 2)(x^2 – 3) \)
応用的な因数分解
1. 四次式以上の因数分解
例： \( x^4 – 16 \)
→ \( (x^2 – 4)(x^2 + 4) = (x – 2)(x + 2)(x^2 + 4) \)
2. 多変数の因数分解
例： \( ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y) \)
3. 対称式の因数分解
例： \( x^2 + y^2 + 2xy = (x + y)^2 \)
練習問題とその解説
- \( x^2 + 4x + 3 \)
→ \( (x + 1)(x + 3) \) - \( x^2 – 9 \)
→ \( (x – 3)(x + 3) \) - \( x^2 – 5x + 6 \)
→ \( (x – 2)(x – 3) \) - \( x^3 – 27 \)
→ \( (x – 3)(x^2 + 3x + 9) \) - \( x^2y + xy^2 \)
→ \( xy(x + y) \) - \( 3x^2 + 11x + 6 \)
→ \( (3x + 2)(x + 3) \)
因数分解は慣れることでスピードも正確さも向上します。たくさんの例題を解きながら感覚を身につけましょう。
