目次

• 三角関数の極限とは？
• 基本の極限：\\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\\)
• \\(\frac{\sin x}{x} \to 1\\) の証明方法
• 応用例と変形パターン
• tan・cosの極限
• まとめ

三角関数の極限とは？

三角関数の極限は、主に \( x \to 0 \) や \( x \to \infty \) などでの関数の振る舞いを調べるものです。高校数学では特に \( x \to 0 \) に注目します。例えば、以下のような式が典型的です：

• \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)
• \( \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} \)
• \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \)

これらの極限を正しく理解することは、微分や積分の基本にもつながります。

基本の極限：\\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\\)

三角関数の極限の中でも最も重要なのがこの式：

\\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \\]

この極限は、今後の微分計算の基本となる重要な極限値です。この式を知っているだけで、多くの問題が一気に簡単になります。

\\(\frac{\sin x}{x} \to 1\\) の証明方法

この極限の証明にはいくつかの方法があります。ここでは代表的な3つを紹介します。

① 挟み撃ちの原理を使った証明

単位円を使って次の不等式が成り立つことを証明できます：

\\[ \cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1 \quad (0 < x < \frac{\pi}{2}) \\]

この両端の式の極限が共に1に近づくため、挟み撃ちの原理より：

\\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \\]

② 微分の定義を使う方法

関数 \( \sin x \) の導関数を定義から求めると：

\\[ \frac{d}{dx} \sin x = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) – \sin x}{h} \\]

これを三角関数の加法定理などで変形すると、\\( \frac{\sin h}{h} \to 1 \\) が必要になります。逆に、この極限が成立していることが前提になります。

③ テイラー展開を使う方法

\\( \sin x \\) のテイラー展開：

\\[ \sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \cdots \\]

これを使うと：

\\[ \frac{\sin x}{x} = 1 – \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} – \cdots \to 1 \\]

より厳密に、\\( x \to 0 \\) のとき高次の項が無視できるため、1に近づきます。

応用例と変形パターン

\\( \frac{\sin x}{x} \to 1 \\) を利用すると、以下のような式もすぐに求められます。

例1：

\\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3 \\]

例2：

\\[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\tan(2x)} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \\]

例3：

\\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2(x/2)^2}{x^2} = \frac{1}{2} \\]

tan・cosの極限

\\( \tan x, \cos x \\) の極限も重要です。

\\( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \\)

\\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \\) より：

\\[ \frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \to 1 \cdot 1 = 1 \\]

\\( \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \\)

これは三角恒等式とテイラー展開の両方から示せます。

まとめ

• \\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \\) は最重要の極限。
• 証明は挟み撃ち、微分定義、テイラー展開など様々な方法がある。
• 変形を通じて、複雑な式も簡単に評価できる。
• \\( \tan x \\)、\\( \cos x \\) の極限も同時に理解しよう。

三角関数の極限は数学の基礎。ここでしっかり身につけておくことで、今後の微分・積分もスムーズに学べます。