絶対覚えたい！三角関数の和積公式の使い方と証明を徹底解説
目次
和積公式とは？
三角関数の和積公式とは、三角関数の「和（たし算）」や「差（ひき算）」を、積（かけ算）の形に変換する公式のことです。 この公式を使うことで、計算がしやすくなったり、積分や波の合成などで大活躍します。
例えば、
- \(\sin A + \sin B\)
- \(\cos A – \cos B\)
のような形を、\(\sin\) や \(\cos\) の積に変換できる公式が「和積公式」です。
和積公式の一覧
全部で4つの公式があります。以下が和積公式の一覧です：
- \(\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A – B}{2}\right)\)
- \(\sin A – \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A – B}{2}\right)\)
- \(\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A – B}{2}\right)\)
- \(\cos A – \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A – B}{2}\right)\)
形を見ておくだけでも、いざというとき思い出しやすくなります。
和積公式の覚え方
覚え方のポイントを以下にまとめます。
1. 「和→積」への変換と覚える
「和積公式」という名前の通り、和を積に変えるという意識を持ちましょう。
2. sin同士は「sinとcos」になる
\(\sin A \pm \sin B\) の公式は、\(\sin\) と \(\cos\) が混ざります。
- \(\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A – B}{2}\right)\)
- \(\sin A – \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A – B}{2}\right)\)
つまり、符号が変わった方が後ろに来ると覚えるのもコツです。
3. cos同士は「coscos」か「sinsin」になる
cosの足し算は「coscos」、引き算は「-sinsin」になります。
- \(\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A – B}{2}\right)\)
- \(\cos A – \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A – B}{2}\right)\)
「引き算のときだけマイナスがつく」ことにも注意しましょう。
和積公式の証明
和積公式は、加法定理から導くことができます。
\(\sin A + \sin B\) の証明
まず、加法定理を使って次のように変形します：
\[ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A – B}{2}\right) \]証明は次のように進めます：
\[ \begin{align*} \sin A + \sin B &= \sin\left(\frac{A + B}{2} + \frac{A – B}{2}\right) + \sin\left(\frac{A + B}{2} – \frac{A – B}{2}\right) \\ &= \sin\left(X + Y\right) + \sin\left(X – Y\right) \quad (\text{ここで } X = \frac{A + B}{2},\ Y = \frac{A – B}{2}) \\ &= 2 \sin X \cos Y \\ &= 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A – B}{2}\right) \end{align*} \]他の公式も同様に、加法定理を使って証明できます。
具体例で使い方を理解しよう
例1：\(\sin 75^\circ + \sin 15^\circ\) を簡単にする
和積公式を使うと：
\[ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{75^\circ – 15^\circ}{2}\right) \] \[ = 2 \sin(45^\circ) \cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]例2：\(\cos 80^\circ – \cos 20^\circ\)
\[ \cos 80^\circ – \cos 20^\circ = -2 \sin\left(\frac{80^\circ + 20^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{80^\circ – 20^\circ}{2}\right) \] \[ = -2 \sin(50^\circ) \sin(30^\circ) = -2 \cdot \sin(50^\circ) \cdot \frac{1}{2} = -\sin(50^\circ) \]例3：定積分での応用
例えば、次のような積分：
\[ \int \sin x \cos x \, dx \]これを和積公式の逆（積→和）を使って：
\[ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) \] \[ \int \sin x \cos x \, dx = \int \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(2x) + C \]このように、和積公式を使えば複雑な積分も簡単に解けます。
まとめ
- 和積公式は三角関数の「和→積」への変換公式。
- 全部で4つあり、sin同士・cos同士で変形方法が異なる。
- 加法定理から証明可能。
- 実際の計算や積分にも応用できる。
和積公式は見た目が複雑に感じるかもしれませんが、パターンを覚えれば使いこなせるようになります。計算練習と公式の形の理解をセットで進めましょう！
