目次

• 余弦定理とは？
• 余弦定理の公式
• 余弦定理が使える場面
• 余弦定理の証明
• 例題で学ぼう
• まとめ

余弦定理とは？

余弦定理（Cosine Theorem）は、三角形の辺の長さと角度の関係を表す公式です。 特に直角三角形でなくても、任意の三角形において辺と角の関係を数式で表現できます。

三角形において「ある角度とその隣接辺の長さ」がわかっているとき、「もう1辺の長さ」や「角度」を求めることができます。 これは図形問題だけでなく、物理や工学の分野でも広く応用されています。

余弦定理の公式

三角形 \( ABC \) において、辺の長さをそれぞれ次のように定義します：

• \( a = BC \)
• \( b = CA \)
• \( c = AB \)

そして、角 \( A \) の余弦定理は次のように表されます：

\[ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \]

同様に、他の角についても：

• \( b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cos B \)
• \( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C \)

余弦定理が使える場面

余弦定理は以下のような場面で活用されます：

• 三角形の2辺とその間の角がわかっていて、残りの辺の長さを求めたいとき
• 三角形の3辺の長さがわかっていて、角度を求めたいとき
• 直角三角形でない図形問題で、三角関係を式で処理したいとき

余弦定理の証明

ここでは座標を用いた証明を紹介します。

次のように三角形を配置します：

• 点 \( A \) を原点 \( (0, 0) \)
• 点 \( B \) を \( (c, 0) \)
• 点 \( C \) を \( (x, y) \)

このとき、辺の長さは次のようになります：

• \( a^2 = (x – c)^2 + y^2 \)
• \( b^2 = x^2 + y^2 \)
• \( c \) は座標から与えられています（辺 \( AB \)）

角 \( A \) の余弦は、ベクトル \( \vec{AB} \) と \( \vec{AC} \) のなす角から次のように求められます：

\[ \cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|} = \frac{cx}{c \sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \]

一方、\( a^2 = (x – c)^2 + y^2 = x^2 – 2cx + c^2 + y^2 \)。

ここで \( x^2 + y^2 = b^2 \) より：

\[ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \]

が導かれ、余弦定理が証明されました。

例題で学ぼう

例題1：2辺と角から1辺を求める

三角形 \( ABC \) において、\( b = 7 \), \( c = 5 \), \( A = 60^\circ \) のとき、辺 \( a \) の長さを求めよ。

\[ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A = 7^2 + 5^2 – 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ \]

\[ a^2 = 49 + 25 – 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 – 35 = 39 \Rightarrow a = \sqrt{39} \approx 6.24 \]

例題2：3辺から角度を求める

三角形の辺の長さが \( a = 6 \), \( b = 7 \), \( c = 8 \) のとき、角 \( A \) の大きさを求めよ。

\[ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \Rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \]

\[ \cos A = \frac{49 + 64 – 36}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{77}{112} \approx 0.6875 \Rightarrow A \approx \cos^{-1}(0.6875) \approx 46.57^\circ \]

まとめ

• 余弦定理は任意の三角形に適用できる強力な公式。
• 2辺と間の角、あるいは3辺が与えられたときに有効。
• 証明には座標やベクトル、内積を使うと分かりやすい。
• 図形問題、ナビゲーション、物理の分野でも活用される。

高校数学で余弦定理をマスターすることは、数学の力を大きく高める第一歩です。ぜひ例題を繰り返し解いて、確実に身につけましょう。