三角方程式は高校数学の中でも頻出で、定期テストや大学入試でも重要な単元です。この記事では、基本から応用まで、三角方程式の解き方を段階的に解説していきます。しっかり理解して、自信を持って問題に取り組めるようになりましょう！

目次

• 三角方程式とは？
• 基本的な三角方程式の解き方
• 解の範囲の扱い方
• 三角関数の変換と公式活用
• やや難しい三角方程式の例題
• まとめ

三角方程式とは？

三角方程式とは、三角関数（sin, cos, tanなど）を含む方程式のことです。例えば、

\\[ \sin x = \frac{1}{2} \\]

や

\\[ 2 \cos^2 x – 1 = 0 \\]

のような形の方程式が該当します。

基本的な三角方程式の解き方

例1： \\(\sin x = \frac{1}{2}\\) を解く

三角方程式では、まず「どの角度でその三角関数の値になるか」を考えます。\\(\sin x = \frac{1}{2}\\) のとき、

• \\(\sin x = \frac{1}{2}\\) となる基本角は \\(\frac{\pi}{6}\\)
• \\(\sin\\) の性質より、\\(x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi\\), \\(x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi\\)

したがって、

\\[ x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi,\quad x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) \\]

例2： \\(\cos x = -\frac{1}{2}\\)

\\(\cos x = -\frac{1}{2}\\) のとき、\\(\cos x = \frac{1}{2}\\) となる基本角は \\(\frac{\pi}{3}\\) なので、

\\[ x = \pi – \frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi,\quad x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi \\]

解の範囲の扱い方

例： \\(\sin x = \frac{1}{2}\\), \\(0 \leq x < 2\pi\\) の範囲で解く

この場合、\\(n\\) を使った一般解ではなく、実際に範囲内の値を列挙します。

\\[ x = \frac{\pi}{6},\quad \frac{5\pi}{6} \\]

となります。

三角関数の変換と公式活用

加法定理を使う例

\\[ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \\]

を解くには、積和の公式

\\[ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) \\]

を使うことで、

\\[ \frac{1}{2} \sin(2x) = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin(2x) = 1 \\]

となり、\\(2x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\\) なので、

\\[ x = \frac{\pi}{4} + n\pi \\]

三角関数の2次方程式

\\[ 2 \cos^2 x – 1 = 0 \\]

は、\\(\cos^2 x = \frac{1}{2}\\) なので、\\(\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\\)。

\\[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2n\pi,\quad \pm \frac{3\pi}{4} + 2n\pi \\]

やや難しい三角方程式の例題

例題1： \\(\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0\\)

両辺を \\(2\\) 乗してもよいが、加法定理を逆に使って整理することができます。

式を \\(\sin x = -\sqrt{3} \cos x\\) と変形し、両辺を \\(\cos x\\) で割る（\\(\cos x \neq 0\\) のとき）：

\\[ \tan x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + n\pi \\]

あるいは \\(x = \frac{2\pi}{3} + n\pi\\)

例題2： \\(2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0\\)

\\(\sin^2 x = 1 – \cos^2 x\\) を使って変形：

\\[ 2 (1 – \cos^2 x) + 3 \cos x = 0 \Rightarrow -2 \cos^2 x + 3 \cos x + 2 = 0 \\]

これを解くと、\\[ \cos x = -1,\quad \cos x = 2 \quad (\text{不適） \\]

よって、\\(\cos x = -1\\) のとき、\\(x = \pi + 2n\pi\\)

まとめ

• 三角方程式では、基本角と周期性を意識することが重要。
• 解の範囲に注意し、必要に応じて範囲内の具体的な値を求める。
• 三角関数の公式（加法定理、積和、2倍角など）を柔軟に使うと複雑な式も解ける。

数多くの問題に触れて、自然に三角方程式を扱えるようになることがゴールです。ぜひ、たくさん練習してマスターしましょう！