【完全解説】区間とは？開区間・閉区間・半開区間の違いと使い方
区間とは何か？閉区間・開区間・半開区間など、数学における区間の種類や意味を豊富な例とともにわかりやすく解説。
数学の基本的な概念のひとつである「区間」。数直線上の範囲を表現する際に使われ、解析学や線形代数、統計学などさまざまな分野で重要な役割を果たします。本記事では、区間の定義から種類、具体的な使い方までを丁寧に解説します。
目次
区間とは何か？
区間とは、ある2つの実数 \( a \) と \( b \) に対して、その間にあるすべての実数を含む集合のことです。数直線上で「連続している範囲」を表現します。
たとえば、1から3までのすべての実数の集合は、区間として表すことができます。この範囲には 1.5 や 2.999、あるいは 2 など、1以上3以下のすべての実数が含まれます。
区間の種類
区間にはいくつかの種類があります。端点を含むかどうかによって分類されます。
閉区間（Closed Interval）
端点 \( a \) と \( b \) の両方を含む区間。
表記: \([a, b]\)
例: \([1, 3]\) は 1, 2, 2.5, 3 を含みます。
開区間（Open Interval）
端点 \( a \) と \( b \) の両方を含まない区間。
表記: \((a, b)\)
例: \((1, 3)\) は 1 や 3 を含まず、1.0001 や 2.9999 などを含みます。
半開区間・半閉区間（Half-Open or Half-Closed Interval）
- \([a, b)\): \(a\) は含むが \(b\) は含まない。
- \((a, b]\): \(a\) は含まないが \(b\) は含む。
例: \([1, 3)\) は 1, 2.5 を含みますが 3 は含みません。
区間の表記法
区間は括弧を使って表現されます。主に以下の記号が使われます：
- \([ \, ]\): 閉区間（含む）
- \(( \, )\): 開区間（含まない）
- \([a, b)\) または \((a, b]\): 半開区間
注意：国際的な論文などでは \((a, b)\) を開区間とし、日本語の教材などでは \(]a, b[\) と書くこともあります。
区間と不等式の関係
区間は不等式で表すこともできます。以下のように対応します：
- \([a, b]\): \(a \leq x \leq b\)
- \((a, b)\): \(a < x < b\)
- \([a, b)\): \(a \leq x < b\)
- \((a, b]\): \(a < x \leq b\)
このように、区間と不等式は同じ意味を異なる方法で表現しています。
具体例で学ぶ区間
例1：関数の定義域
関数 \( f(x) = \sqrt{x} \) の定義域は \( x \geq 0 \) なので、区間で書くと \([0, \infty)\) です。
例2：積分区間
定積分 \(\int_1^3 x^2 \, dx\) では、積分区間は \([1, 3]\) です。
例3：不等式の解
不等式 \( 2 < x \leq 5 \) の解は区間 \((2, 5]\) に対応します。
例4：統計学における信頼区間
「95%信頼区間が \([1.2, 2.8]\)」という場合、その範囲に真の値が存在する確率が95%であるという意味です。
区間の応用例
- 数学解析：極限や連続性、微分可能性の議論において、関数の定義域として区間が使われます。
- 統計学：信頼区間や分位数、分布の定義に用いられます。
- プログラミング：範囲条件の記述やループ条件に区間の概念が応用されます。
- 物理学：測定値の誤差範囲や条件の指定において区間が使われます。
まとめ
区間は、数直線上の連続的な範囲を表現する重要な数学的概念です。端点を含むかどうかによって、開区間・閉区間・半開区間に分類され、それぞれ異なる記号で表現されます。不等式と同等に扱うことができ、多くの数学的議論の土台となります。数式や例を通して理解を深め、応用にも対応できるようになりましょう。
