目次

• 有界の定義
• 上界・下界との関係
• 有界集合の具体例
• 有界でない集合の例
• 距離空間における有界
• まとめ

有界の定義

数学における「有界」とは、ある集合が特定の範囲の中に収まっていることを意味します。

特に実数の集合において、集合 \( A \subset \mathbb{R} \) が有界であるとは、ある実数 \( M > 0 \) が存在して、 任意の \( x \in A \) に対して

\[ |x| \leq M \]

が成り立つことをいいます。つまり、集合のすべての要素が絶対値で \( M \) 以下であるということです。

上界・下界との関係

有界性をより詳しく見るためには、「上界」「下界」という概念が重要です。

• 上に有界（bounded above）：集合 \( A \) に対して、ある実数 \( M \) が存在して、任意の \( x \in A \) に対して \( x \leq M \) が成り立つとき。
• 下に有界（bounded below）：ある実数 \( m \) が存在して、任意の \( x \in A \) に対して \( x \geq m \) が成り立つとき。
• 上下ともに有界：上に有界かつ下に有界であるとき、集合は有界といいます。

たとえば、区間 \( [1, 5] \) は上に \( 5 \)、下に \( 1 \) という界があり、有界です。

有界集合の具体例

以下に、有界集合の具体例を挙げます。

1. 実数の閉区間：\( A = [2, 7] \)
   → すべての要素は \( 2 \leq x \leq 7 \) に収まるので、有界。
2. 有限集合：\( B = \{ -3, 0, 1, 4 \} \)
   → 最小値は -3、最大値は 4 なので、有界。
3. 開区間：\( C = (0, 1) \)
   → 上に 1、下に 0 の界が存在するため有界。

有界でない集合の例

逆に、有界でない（無界）集合の例も確認しておきましょう。

1. 自然数全体の集合：\( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} \)
   → 上に限界がなく、任意の \( M \) より大きな数が存在するので無界。
2. 実数全体：\( \mathbb{R} \)
   → 上にも下にも限界がないため無界。
3. 半開区間：\( [0, \infty) \)
   → 上に界がないので無界。

距離空間における有界

有界という概念は、実数の集合だけでなく、より一般的な距離空間（metric space）でも定義されます。

距離空間 \( (X, d) \) において、集合 \( A \subset X \) が有界であるとは、ある点 \( x_0 \in X \) と正の実数 \( r > 0 \) が存在して、

\[ A \subset B(x_0, r) \]

となるときです。ここで \( B(x_0, r) \) は、点 \( x_0 \) を中心として半径 \( r \) の開球（ボール）を表します。

つまり、集合全体がある球の中に収まっていれば、有界です。

例：ユークリッド空間における有界

ユークリッド空間 \( \mathbb{R}^n \) における集合 \( D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 4 \} \) は、原点を中心とする半径2の円の内部を含む閉円盤であり、有界です。

まとめ

• 有界とは、集合がある一定の範囲内にあることを意味します。
• 実数の集合では、上界・下界の存在が有界性を判断する鍵になります。
• 有界集合の例としては区間や有限集合があります。
• 自然数全体や実数全体などは無界です。
• 距離空間においても、一定の半径の球に収まる集合は有界とされます。

数学を学ぶ上で、「有界」という性質を正確に理解しておくことは、解析学や線形代数、関数論などの分野において非常に重要です。