目次

• 次元定理とは何か？
• 次元定理の正式な定式化
• 次元定理の証明
• 具体例による理解
• 次元定理の意義と応用
• 関連する概念との関係

次元定理とは何か？

次元定理（rank-nullity theorem）は、線形写像に関する非常に重要な定理であり、線形代数における写像の構造を明らかにします。特に、写像の「核（カーネル）」と「像（イメージ）」の次元に着目して、それらがどのように全体の空間の次元と関係しているかを述べるものです。

例えば、ベクトル空間 \( V \) から \( W \) への線形写像 \( T: V \to W \) を考えたとき、「核」と「像」の次元の和が \( V \) の次元に等しくなる、というのが次元定理の基本的な内容です。

次元定理の正式な定式化

ベクトル空間 \( V \) から \( W \) への線形写像 \( T: V \to W \) に対して、以下が成り立ちます：

\[ \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im} T) = \dim V \]

• \( \ker T \)：線形写像 \( T \) の核（カーネル）＝\( T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} \) となるすべての \( \mathbf{v} \in V \) の集合
• \( \operatorname{Im} T \)：線形写像 \( T \) の像＝\( T(\mathbf{v}) \) の全体

「核の次元」はしばしば「ヌルティ（nullity）」と呼ばれ、「像の次元」は「ランク（rank）」と呼ばれます。したがって次元定理は次のようにも書けます：

\[ \operatorname{nullity}(T) + \operatorname{rank}(T) = \dim V \]

次元定理の証明

以下に、線形写像の次元定理の基本的な証明を示します。

1. まず、\( \ker T \) の基底を取ります。これを \( \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\} \) とします。これらは線形独立であり、核の部分空間を張ります。
2. 次に、この基底を \( V \) の基底へと拡張します。つまり、さらに \( \{\mathbf{v}_{k+1}, \dots, \mathbf{v}_n\} \) を加えて \( \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\} \) を \( V \) の基底とします。
3. 写像 \( T \) をこの基底に作用させると、核の要素 \( \mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k \) はすべてゼロベクトルに写ります。一方、残りの \( \mathbf{v}_{k+1}, \dots, \mathbf{v}_n \) は一般にゼロでない像になります。
4. 実際、\( T(\mathbf{v}_{k+1}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \) は \( \operatorname{Im} T \) を張る生成系となり、しかも線形独立です。

したがって、像の次元は \( n – k \) であり、核の次元と合わせると：

\[ \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im} T) = k + (n – k) = n = \dim V \]

具体例による理解

例1：単純な行列による例

次の線形写像を考えます。行列 \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \] によって定義される \( \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) の写像です。

この行列のランク（階数）は 2 です。行基本変形により確認できます。よって、像の次元（rank）は 2。

次元定理より、核の次元（nullity）は： \[ \dim(\ker A) = \dim(\mathbb{R}^3) – \operatorname{rank}(A) = 3 – 2 = 1 \]

つまり、核は一次元の部分空間になります。

例2：恒等写像

恒等写像 \( I: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) は、任意のベクトル \( \mathbf{v} \) をそのまま写像します。したがって：

• \( \ker I = \{ \mathbf{0} \} \) より核の次元は 0
• \( \operatorname{Im} I = \mathbb{R}^n \) より像の次元は \( n \)

次元定理より： \[ 0 + n = n = \dim(\mathbb{R}^n) \]

例3：定数写像

定数写像 \( T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} \) はすべてのベクトルをゼロベクトルに写します。

• \( \ker T = \mathbb{R}^n \) より核の次元は \( n \)
• \( \operatorname{Im} T = \{ \mathbf{0} \} \) より像の次元は 0

次元定理より： \[ n + 0 = n = \dim(\mathbb{R}^n) \]

次元定理の意義と応用

次元定理は、単なる理論的な結果にとどまらず、線形方程式の解の構造を把握する際にも重要です。例えば、次のような場面で使われます：

• 同次線形方程式の解空間の次元を求めるとき
• 行列の階数を利用して自由度を議論するとき
• 写像が単射か全射かを判断する指標として

また、次元定理は線形代数における他の多くの理論（正準形、ジョルダン標準形、ランクの定理など）への橋渡しとなっています。

関連する概念との関係

• 単射性との関係： \( \ker T = \{ \mathbf{0} \} \) のとき、\( T \) は単射。次元定理から、このとき \( \operatorname{rank}(T) = \dim V \)。
• 全射性との関係： \( \operatorname{Im} T = W \) であるとき \( T \) は全射。次元定理により、\( \operatorname{rank}(T) = \dim W \) を確認すればよい。
• 行列のランク： 線形写像が行列で表される場合、像の次元＝行列のランク、核の次元＝自由変数の個数。