目次

• 上極限・下極限とは何か
• 直感的な理解
• 性質と定理
• 具体例と計算
• 応用と重要性

上極限・下極限とは何か

数学において、特に実解析の分野では、数列の極限が存在しない場合でも、その「振る舞い」を把握するための手段として「上極限（limsup）」と「下極限（liminf）」が重要です。

与えられた数列 \( \{a_n\} \) に対して、以下のように定義されます：

• 上極限：
  \[ \limsup_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geq n} a_k \]
• 下極限：
  \[ \liminf_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} a_k \]

ここで \(\sup\) は上限（最大値の近似）、\(\inf\) は下限（最小値の近似）を意味します。

直感的な理解

上極限と下極限は、数列がどのような「最大」「最小」の値に近づいていくのかを表します。

上極限は「最終的にどの程度まで大きな値を取り続けるのか」、下極限は「最終的にどの程度まで小さな値を取り続けるのか」を意味します。

以下のように考えるとわかりやすいです：

• \( \limsup a_n \)：数列の「最も大きな部分の限界値」
• \( \liminf a_n \)：数列の「最も小さな部分の限界値」

性質と定理

• 常に \( \liminf_{n \to \infty} a_n \leq \limsup_{n \to \infty} a_n \)
• 両者が一致する場合、数列は極限を持ち、その値は共通の極限値である
• 数列が上に有界であれば、上極限は有限値をとる
• 単調減少列の上極限はその極限と一致する

具体例と計算

例1：交互数列

数列 \( a_n = (-1)^n \) に対して：

• \( \limsup_{n \to \infty} a_n = 1 \)
• \( \liminf_{n \to \infty} a_n = -1 \)

この数列は収束しませんが、上極限・下極限は存在します。

例2：減衰する交互数列

数列 \( a_n = \frac{(-1)^n}{n} \) に対して：

• \( \limsup_{n \to \infty} a_n = 0 \)
• \( \liminf_{n \to \infty} a_n = 0 \)

この数列は収束しており、その極限は 0 です。

例3：単調増加列

数列 \( a_n = 1 – \frac{1}{n} \) に対して：

• \( \limsup_{n \to \infty} a_n = 1 \)
• \( \liminf_{n \to \infty} a_n = 1 \)

この場合も数列は収束しており、極限は 1 です。

応用と重要性

上極限・下極限は、以下のような応用や理論的意義を持ちます：

• 収束判定：数列が発散していても、その収束傾向を評価できる
• 確率論：確率変数列の極限に関する定理（例：ボレル・カンテリの補題）に登場
• 関数列：関数列の各点収束や一様収束の判定において、上極限・下極限を使うことがある
• 測度論・ルベーグ積分：Fatouの補題やモノトーン収束定理などにおける活用

さらに、経済学や物理学などの応用分野でも、不確定性のもとでの境界挙動を評価するために使われます。

このように、上極限・下極限は単なる数学的定義にとどまらず、幅広い分野で理論の基礎を支える重要な概念です。