ダランベールの収束判定法
目次
ダランベールの収束判定法とは
ダランベールの収束判定法（比の判定法）は、無限級数の収束または発散を判定するための古典的で強力な方法の一つです。 特に、項の比が一定の規則性を持つような級数に対して有効です。 例えば、階乗や指数を含む級数に対してよく用いられます。
ダランベールの公式
無限級数 \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \] に対して、以下の極限を考えます： \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \] すると、次のように判定できます：
- もし \( L < 1 \) ならば、級数は絶対収束する。
- もし \( L > 1 \) または \( L = \infty \) ならば、級数は発散する。
- もし \( L = 1 \) ならば、判定できない（他の方法が必要）。
使い方の手順
- 級数の一般項 \( a_n \) を明確にする。
- \( \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \) を計算する。
- その極限 \( L \) を求める。
- 上記の条件に照らして収束・発散を判断する。
基本例題
例1： 次の級数の収束・発散を判定せよ。 \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \]
一般項は \( a_n = \frac{1}{n!} \) なので、 \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{(n+1)!} \cdot n! = \frac{1}{n+1} \] よって、 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0 < 1 \] よって、この級数は絶対収束する。
例2： 次の級数を考える： \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n} \]
一般項は \( a_n = \frac{2^n}{n} \) なので、 \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{2^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{2^n} = 2 \cdot \frac{n}{n+1} \] よって、 \[ \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \frac{n}{n+1} = 2 > 1 \] よって、この級数は発散する。
応用例題
例3： 次の級数の収束性を調べよ： \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{3^n} \]
一般項は \( a_n = \frac{n!}{3^n} \)。比を計算すると： \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n!} = \frac{(n+1)}{3} \] よって、 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{3} = \infty > 1 \] よって、この級数は発散する。
例4： \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!} \]
一般項は \( a_n = \frac{3^n}{n!} \) なので、 \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1} \] よって、 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} = 0 < 1 \] この級数は絶対収束する。
ダランベール法の限界と注意点
ダランベールの判定法は便利ですが、以下のような場合には使用できません：
- \( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1 \) のときは、収束・発散を判断できません。
- 項の符号が交互に変わるような級数には不向きです（交代級数には交代級数判定法が有効）。
- 項が複雑な形式で表されており、比が簡単に求まらないときは不便です。
まとめ
- ダランベールの収束判定法は、一般項の比を用いて無限級数の収束・発散を判断する方法。
- 特に階乗・指数を含む級数で真価を発揮。
- 比の極限が1のときは判定できないため、他の方法と併用するのが望ましい。
- 基本例から応用まで練習することで、正確な判定力が身につく。
