コーシーの収束判定法
目次
コーシーの収束判定法とは？
コーシーの収束判定法（Cauchyの収束基準）は、無限級数や数列が収束するかどうかを判定するための、非常に基本的で重要な方法です。 数列や級数が「収束する」とは、無限に続く項がある定まった値に近づくことを意味しますが、コーシーの基準では「項同士の差が十分に小さくなる」ことに注目します。
定義と数学的表現
数列 \( \{a_n\} \) が収束するための必要十分条件として、以下の性質が成り立つことを要求します。
コーシー列の定義：
任意の \( \varepsilon > 0 \) に対して、ある自然数 \( N \) が存在して、すべての \( m, n \geq N \) に対して次が成り立つ：
\[ |a_n – a_m| < \varepsilon \]
このような数列を「コーシー列（Cauchy列）」と呼び、実数の範囲ではすべてのコーシー列は収束します（完備性）。
直感的な意味
普通、数列の収束というと「ある値に近づく」と考えますが、コーシーの判定法では「十分後の項同士が互いに近くなる」という性質を重視します。 これは「近づいている先の値（極限値）がわからなくても、収束しているか判定できる」強力な方法です。
イメージとしては、数列の末端の項たちがバラバラに動くのではなく、互いに集まりあって固まっていくような様子です。
コーシーの収束判定法の証明
実数の範囲では、次のような定理が成り立ちます。
定理： 実数列 \( \{a_n\} \) が収束することと、コーシー列であることは同値である。
証明の概略：
- まず、\( \{a_n\} \) が収束するならば、任意の \( \varepsilon > 0 \) に対して、\( a_n \) と極限値 \( L \) の差が小さくできる。
- よって、\( |a_n – a_m| \leq |a_n – L| + |a_m – L| < \varepsilon \) となるので、コーシー列の条件が満たされる。
- 次に、\( \{a_n\} \) がコーシー列であると仮定すると、有界性と実数の完備性から、極限値が存在することが示せる。
具体例で理解しよう
例1：収束する数列 \( a_n = \frac{1}{n} \)
任意の \( \varepsilon > 0 \) に対し、十分大きい \( N \) をとれば、\( m, n \geq N \) に対して：
\[ \left|\frac{1}{n} – \frac{1}{m}\right| < \varepsilon \]
これは簡単に満たされるため、コーシー列であり、収束する（極限値は0）。
例2：発散する数列 \( a_n = n \)
この場合、\( |a_n – a_m| = |n – m| \) は \( n, m \to \infty \) でも大きくなっていくため、任意の \( \varepsilon > 0 \) に対して小さく保つことはできません。 よって、コーシー列ではなく、収束もしません。
例3：交互数列 \( a_n = (-1)^n \)
この数列も収束しません。というのも、奇数項と偶数項が常に 2 離れており、項同士が互いに近づいていないからです：
\[ |a_{2n} – a_{2n+1}| = |1 – (-1)| = 2 \]
よって、この数列もコーシー列ではありません。
他の収束判定法との比較
数列や級数の収束を判定する方法には他にも様々なものがあります。
絶対収束との違い
級数 \( \sum a_n \) が絶対収束するとは、\( \sum |a_n| \) が収束することですが、これは数列の収束とは異なる概念です。 コーシーの収束判定法は数列や部分和の収束に焦点を当てます。
比較判定法や比の判定法との違い
比の判定法（ダランベールの判定法など）は、級数の項の比に注目するものであり、コーシー判定法とはアプローチが異なります。 コーシーの方法は、極限値そのものがわからなくても収束を判定できる点が強みです。
まとめ
- コーシーの収束判定法は、項同士の差が小さくなることに着目する方法です。
- 実数列では、収束とコーシー列であることは同値です。
- 収束先が明示されていなくても、収束の確認ができます。
- 例を通して、直感的な理解と形式的な理解の両方が可能です。
- 他の判定法と組み合わせて使うことで、より柔軟に収束性を調べることができます。
