「随伴行列」を解説！エルミート転置・共役転置の意味と性質
目次
随伴行列の定義
随伴行列（adjoint matrix）とは、複素数成分を持つ行列において重要な概念で、元の行列の「複素共役をとってから転置した行列」を指します。これは「エルミート転置」または「共役転置」とも呼ばれます。
数学的には、複素成分を持つ行列 \( A \) に対して、随伴行列 \( A^\dagger \) は以下で定義されます：
\[ A^\dagger = \overline{A}^T \]
ここで、\( \overline{A} \) は \( A \) の各要素の複素共役、\( ^T \) は転置を意味します。
記法と呼び方
随伴行列にはいくつかの呼び方がありますが、すべて同じものを指しています。
- 随伴行列（Adjoint matrix）
- 共役転置（Conjugate transpose）
- エルミート転置（Hermitian transpose）
記号としては、次のいずれかが一般的です：
- \( A^\dagger \)（ダガー記号）
- \( A^* \)（複素共役を含意）
具体例
行列 \( A \) を以下のように定義します：
\[ A = \begin{bmatrix} 1 + i & 2 \\ 3i & -1 \end{bmatrix} \]
この行列の随伴行列 \( A^\dagger \) を求めます。まず複素共役を取ります：
\[ \overline{A} = \begin{bmatrix} 1 – i & 2 \\ -3i & -1 \end{bmatrix} \]
次に転置をとると：
\[ A^\dagger = \overline{A}^T = \begin{bmatrix} 1 – i & -3i \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \]
随伴行列の性質
随伴行列は以下のような性質を持ちます。
- 線形性： \( (A + B)^\dagger = A^\dagger + B^\dagger \)
- スカラーの共役： \( (\lambda A)^\dagger = \overline{\lambda} A^\dagger \)
- 随伴の随伴： \( (A^\dagger)^\dagger = A \)
- 積に関する逆順の随伴： \( (AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger \)
随伴行列と特別な行列
以下のような行列と随伴行列の関係は非常に重要です。
エルミート行列
\( A = A^\dagger \) を満たす行列はエルミート行列（自己随伴行列）と呼ばれます。エルミート行列は固有値が実数であるという性質があります。
ユニタリ行列
\( A^\dagger A = AA^\dagger = I \) を満たす行列はユニタリ行列と呼ばれます。ユニタリ行列はノルムを保つ変換であり、量子力学などで重要です。
正規行列
\( A^\dagger A = A A^\dagger \) を満たす行列は正規行列と呼ばれ、エルミート行列やユニタリ行列もこのクラスに含まれます。
応用例
随伴行列は、主に以下の分野で頻出します。
- 量子力学： 観測量はエルミート演算子として表現される。
- 統計的推定： ユニタリ変換に基づく回転不変性の利用。
- 信号処理： 複素フーリエ変換の性質解析において重要。
- 数値線形代数： 行列分解（特に特異値分解やQR分解）において基本的な役割。
まとめ
随伴行列は、複素数を扱う線形代数の文脈で非常に重要な役割を果たします。特に物理や工学、数学の応用分野において、エルミート性やユニタリ性といった概念と密接に関係しています。
記法に慣れ、具体的な操作に強くなることで、行列の性質や構造を深く理解することができます。ぜひ例題を手で解いて、理解を深めてください。
