連立一次方程式の基本解・特殊解・解空間
目次
連立一次方程式の概要
連立一次方程式とは、複数の一次方程式が同時に成り立つような変数の値を求める問題です。一般に、次のように表されます：
\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \]
ここで、\(x_1, x_2, \dots, x_n\) は変数、\(a_{ij}\) は係数、\(b_i\) は定数です。この連立方程式は、行列の形で以下のように書けます：
\[ A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \]
ここで \(A\) は係数行列、\(\boldsymbol{x}\) は変数ベクトル、\(\boldsymbol{b}\) は定数ベクトルです。
特殊解とは？
特殊解（particular solution）とは、非同次連立一次方程式 \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) の具体的な解の一つです。たとえば、次の方程式を考えます：
\[ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{cases} \]
これは2本の直線が一致するケースで、解は無限に存在します。たとえば、\(x = 4, y = 0\) は明らかにこの方程式を満たします。したがって、これは特殊解です。
基本解とは？
基本解（fundamental solution）とは、同次方程式 \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) の解空間を生成する線形独立なベクトルの集合です。つまり、基本解を用いて同次解の全体を線形結合で表現できます。
たとえば次の同次方程式を考えましょう：
\[ \begin{cases} x + 2y = 0 \\ 3x + 6y = 0 \end{cases} \]
このとき、解は \(x = -2y\) により、ベクトル表記で
\[ \boldsymbol{x} = y \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \]
よって、\(\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\) が基本解です。
解空間の構造
一般に、連立一次方程式の解は「特殊解」＋「同次方程式の解空間」として表現されます。すなわち：
\[ \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_p + \boldsymbol{x}_h \]
ここで、\(\boldsymbol{x}_p\) は特殊解、\(\boldsymbol{x}_h\) は同次方程式の解です。解空間（solution space）はアフィン空間であり、同次解空間に特殊解を平行移動したものになります。
解空間が点（1つの解）の場合もあれば、直線、平面、高次元空間になる場合もあります。
豊富な例題と解説
例1：一意解のある場合
\[ \begin{cases} x + y = 2 \\ x – y = 0 \end{cases} \Rightarrow x = 1, y = 1 \] これは一意解であり、解空間は一点。
例2：解が無限にある場合
\[ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases} \Rightarrow x = 2 – y \Rightarrow \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} 2 – y \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \] よって、特殊解 \(\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}\)、基本解 \(\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}\)
例3：解が存在しない（矛盾系）
\[ \begin{cases} x + y = 2 \\ x + y = 3 \end{cases} \] 同じ左辺で右辺が異なるため、解なし。
まとめ
- 特殊解は非同次系の具体的な解
- 基本解は同次系の解空間を張るベクトル
- 全体の解は「特殊解＋同次解」で表される
- 解空間の次元＝自由変数の個数
- 例題で感覚を養うことが重要
連立一次方程式は線形代数の基礎中の基礎です。よびのりなどの対策に限らず、大学以降の数学や応用分野に不可欠な内容なので、しっかり理解しましょう。
