数学オリンピック不等式問題を徹底解説！高校生向け応用例題と攻略法
数学オリンピックでは、数列・整数・幾何などと並び、不等式が頻出分野のひとつです。特に応用問題では、単なる代入では解けない、工夫と発想が求められます。本記事では高校生向けに、基礎から応用まで不等式の代表例と解法を丁寧に解説します。
目次
不等式の基本と証明手法
まずは不等式の基本的な考え方と証明方法を紹介します。
代表的な証明方法
- 直接計算：展開・整理によって左右の差を調べる。
- 相加相乗平均の不等式（AM-GM）： \\[ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad (a, b > 0) \\]
- 平方完成・差の平方： \\[ a^2 + b^2 \geq 2ab \quad \text{（実数全体で成り立つ）} \\]
- 帰納法：自然数に関する不等式で有効。
数学オリンピック頻出の基本不等式
数学オリンピックでは以下の不等式が頻出です。理解し、使いこなせるようにしましょう。
コーシー・シュワルツの不等式（Cauchy-Schwarz）
実数列 \\(a_1, a_2, \dots, a_n\\), \\(b_1, b_2, \dots, b_n\\) に対して：
ホルダーの不等式（Hölder）
一般的で強力な不等式：
\\[ \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^{1/p} \left( \sum_{i=1}^n b_i^q \right)^{1/q} \geq \sum_{i=1}^n a_ib_i \quad (1/p + 1/q = 1) \\]ミンコフスキーの不等式
\\[ \left( \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=1}^n b_i^p \right)^{1/p} \\]応用力を試す！例題で学ぶ不等式
例題1：相加相乗平均の応用
正の実数 \\(a, b, c\\) に対して以下を示せ：
\\[ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2} \\]解法のヒント：対称性に注目し、Titu’s Lemma（Engel不等式）を使う。
例題2：シンプルな不等式の変形
実数 \\(x, y > 0\\) に対して次の不等式を証明せよ：
\\[ x^2 + y^2 \geq 2xy \\]解法：差の平方を考えると：
\\[ (x – y)^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 – 2xy + y^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 + y^2 \geq 2xy \\]例題3：不等式の最大化・最小化
条件 \\(a + b + c = 1, a, b, c > 0\\) のもとで次を最大化：
\\[ a^2 + b^2 + c^2 \\]解法：シュワルツの不等式やLagrangeの未定乗数法の利用が有効です。
テクニック集：対称性・置換・同次化
対称性
変数の入れ替えに対して式が不変であることを利用。特に3変数対称な式には、WLOG（without loss of generality）を使って \\(a \leq b \leq c\\) と仮定できる場合も。
置換
たとえば \\(x = a + b\\) などと置くことで式を単純化。
同次化
式が同次（すべての項の次数が等しい）であれば、\\(a + b + c = 1\\) のように仮定してよい。
演習問題とその解説
問題1
正の実数 \\(a, b, c\\) に対して：
\\[ \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq a + b + c \\]解説：AM-GMの変形とチェビシェフの不等式を使うことが有効。
問題2
実数 \\(x, y > 0\\) に対し：
\\[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 \\]解説：相加相乗平均の不等式の直接応用です。
問題3
実数 \\(x, y, z > 0\\) に対して：
\\[ \frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} \geq \frac{3}{2} \\]解説：Titu’s Lemmaの直接応用例。
まとめと学習アドバイス
不等式の分野は、数学オリンピックや大学入試においても非常に重要です。以下の点を意識しましょう。
- 基本不等式（AM-GM, Cauchy-Schwarz など）を自在に使いこなせるようにする。
- 問題の対称性や同次性に気づく視点を養う。
- 例題を数多くこなして、「定石」を体に染み込ませる。
最初はうまくいかなくても、じっくりと粘り強く考える習慣が大切です。不等式の美しさと奥深さを味わいながら、レベルアップを目指しましょう。
