高校数学で重要なコーシー・シュワルツの不等式を基礎から応用まで
目次
コーシー・シュワルツの不等式とは？
コーシー・シュワルツの不等式（Cauchy-Schwarz inequality）は、ベクトルや実数列の内積や絶対値に関する重要な不等式です。 高校数学では、主に次の形で登場します。
二つの実数列 \( a_1, a_2, \dots, a_n \) と \( b_1, b_2, \dots, b_n \) に対して、
\[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \]
または、等号が成り立つのは二つのベクトルが線形従属のとき、すなわち \( \exists \lambda \in \mathbb{R} \) で \( a_i = \lambda b_i \)（またはその逆）のときです。
不等式の証明（直感と形式）
証明は色々ありますが、ここでは高校生にも理解しやすい方法を2つ紹介します。
方法1：平方完成を使う方法
関数 \( f(t) = \sum_{i=1}^{n} (a_i – t b_i)^2 \geq 0 \) を考えます。これは2次関数であり、実数 \( t \) に関する非負関数です。
展開すると： \[ f(t) = \sum_{i=1}^{n} a_i^2 – 2t \sum_{i=1}^{n} a_i b_i + t^2 \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \]
これは2次関数 \( At^2 – 2Bt + C \geq 0 \) なので、判別式 \( B^2 – AC \leq 0 \) を使うと、 \[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \] が得られます。
方法2：内積と角度の関係からの直感
ベクトル \( \vec{a}, \vec{b} \) の内積 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \) を使えば、 \[ | \vec{a} \cdot \vec{b} | \leq |\vec{a}||\vec{b}| \] となり、これがまさにコーシー・シュワルツの不等式です。
基本例題で理解を深めよう
例題1：
次の値を比較せよ： \[ (1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4)^2 \quad \text{と} \quad (1^2 + 2^2 + 3^2)(2^2 + 3^2 + 4^2) \]
計算すると： \[ (1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4)^2 = (2 + 6 + 12)^2 = 20^2 = 400 \] \[ (1^2 + 2^2 + 3^2)(2^2 + 3^2 + 4^2) = (1 + 4 + 9)(4 + 9 + 16) = 14 \cdot 29 = 406 \]
したがって、確かに \[ \left( \sum a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum a_i^2 \right) \left( \sum b_i^2 \right) \] が成立。
応用例題にチャレンジ！
例題2（不等式の証明）：
任意の実数 \( x, y \) に対して、次の不等式を示せ： \[ (x + y)^2 \leq 2(x^2 + y^2) \]
これはコーシー・シュワルツの不等式において、 \[ a = (1, 1), \quad b = (x, y) \] とおくことで適用できます。 \[ \left( \sum a_i b_i \right)^2 = (x + y)^2,\quad \sum a_i^2 = 1^2 + 1^2 = 2,\quad \sum b_i^2 = x^2 + y^2 \] \[ (x + y)^2 \leq 2(x^2 + y^2) \] が示されます。
例題3（最小値・最大値の評価）：
正の実数 \( x, y \) に対して、次の式の最大値を求めよ： \[ \frac{x + y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \]
コーシー・シュワルツを使うと、 \[ (x + y)^2 \leq 2(x^2 + y^2) \Rightarrow \frac{(x + y)^2}{x^2 + y^2} \leq 2 \Rightarrow \left( \frac{x + y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right)^2 \leq 2 \Rightarrow \frac{x + y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \leq \sqrt{2} \] 最大値は \( \sqrt{2} \)
図形との関連
平面ベクトルで考えると、コーシー・シュワルツの不等式は 「内積の絶対値は、各ベクトルの大きさの積以下になる」ことを表しています。
これはまさに、 \[ | \vec{a} \cdot \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \leq |\vec{a}||\vec{b}| \] という意味で、直角三角形や鈍角三角形における角度の取り扱いと深く関係します。
まとめとポイントの整理
- コーシー・シュワルツの不等式は、内積や加重平均の評価に非常に便利
- 等号成立条件を押さえておくと、証明問題にも対応できる
- 実数列・ベクトル・図形など幅広く応用が効く
- 関数・三角形・最大値・最小値の問題にも登場する
この不等式を使いこなせれば、共通テストや難関大の数学でも有利になります。
