交代式の因数分解を完全マスター！高校数学で差がつくポイントを徹底解説
交代式とは、変数の入れ替えに応じて符号が変わる特殊な式のことです。本記事では、交代式の性質や因数分解の手法を、高校生にもわかりやすく丁寧に解説します。例題も豊富に紹介し、理解を深めます。
目次
交代式とは？
交代式（alternating polynomial）とは、2つの変数の位置を入れ替えると符号が反転する多項式のことです。特に、次の性質を満たす式を指します：
\( f(x, y) = -f(y, x) \)
つまり、\( x \)と\( y \)を入れ替えるとマイナスになる式です。
例えば、
- \( x – y \) は交代式です。なぜなら \( x \leftrightarrow y \) のとき \( x – y \rightarrow y – x = -(x – y) \) となるからです。
- \( x^2 – y^2 \) は交代式ではありません。なぜなら \( x \leftrightarrow y \) のとき \( x^2 – y^2 \rightarrow y^2 – x^2 = -(x^2 – y^2) \) ですが、これはたまたま対称性があるためです。しかし多項式全体が符号反転しなければ交代式とは言いません。
交代式の基本性質
交代式には以下のような性質があります：
- 交代式は \( x – y \) を因数にもつ。
- 次数が奇数のときに交代式となることが多い。
- 交代式に変数の対称性を持たせることで因数分解しやすくなる。
なぜ \( x – y \) を因数にもつのかというと、交代式 \( f(x, y) \) は \( x = y \) を代入すると必ず 0 になるからです。
例：
\( f(x, y) = x^3 – y^3 \)
\( f(y, x) = y^3 – x^3 = -(x^3 – y^3) \) → 交代式
また、\( x^3 – y^3 = (x – y)(x^2 + xy + y^2) \) と因数分解できます。
交代式の因数分解の基本方針
交代式の因数分解では、まず「交代式 = \( x – y \) × 他の対称式」と考えます。つまり：
\( f(x, y) = (x – y) \cdot g(x, y) \)
ここで、\( g(x, y) \) は対称式（変数を入れ替えても値が変わらない式）であることが多いです。
因数分解のステップ：
- 交代式であることを確認する。
- \( x – y \) を因数としてくくり出す。
- 残りの部分が対称式であれば、それを適切に整理する。
交代式の因数分解の典型例
以下は交代式の因数分解の典型例です。
例1：2次の交代式
\( f(x, y) = x^2 – y^2 \)
\( = (x – y)(x + y) \)
例2：3次の交代式
\( f(x, y) = x^3 – y^3 \)
\( = (x – y)(x^2 + xy + y^2) \)
例3：より複雑な交代式
\( f(x, y) = x^5y – xy^5 \)
\( = xy(x^4 – y^4) = xy(x – y)(x + y)(x^2 + y^2) \)
このように、交代式は因数分解することで、その構造が見えやすくなります。
因数分解の実践例題
例題1：
次の式を因数分解せよ：
\( x^3 – y^3 \)
解答：
\( x^3 – y^3 = (x – y)(x^2 + xy + y^2) \)
例題2：
\( x^4y – xy^4 \) を因数分解せよ。
解答：
\( x^4y – xy^4 = xy(x^3 – y^3) = xy(x – y)(x^2 + xy + y^2) \)
例題3：
\( x^6 – y^6 \) を因数分解せよ。
解答：
\( x^6 – y^6 = (x^3)^2 – (y^3)^2 = (x^3 – y^3)(x^3 + y^3) \)
\( = (x – y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 – xy + y^2) \)
例題4：
\( a^3b – ab^3 + b^3c – bc^3 + c^3a – ca^3 \)
これは3変数の交代式であり、以下のように因数分解できます。
\( = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c) \)
この因数分解は発展的な内容ですが、大学入試などで出題されることもあります。
まとめとポイント整理
交代式の因数分解において重要なのは以下のポイントです：
- 交代式の定義を理解する（入れ替えで符号が反転）
- 必ず \( x – y \) を因数にもつことを覚える
- 対称式と組み合わせることで因数分解が可能
- 高次式や複数変数の場合も共通因子や対称性に注目する
交代式は一見難しそうに見えますが、性質を理解すれば非常に規則的で解きやすくなります。ぜひたくさんの問題に触れて、理解を深めていきましょう。
