目次

• はじめに
• supとinfの定義
• 性質と定理
• 具体例で理解しよう
• 応用と重要性
• まとめ

はじめに

数学、とくに解析学や実数論において「上限（supremum）」および「下限（infimum）」という概念は非常に基本的で重要です。これらは、集合が持ちうる最大の上界や最小の下界を指します。極限や連続性、積分などの議論においても不可欠です。

supとinfの定義

上限（supremum, sup）の定義

実数集合 \( A \subset \mathbb{R} \) に対して、\( A \) の上限（supremum）とは、次の2つの条件を満たす実数 \( s \) のことです：

• すべての \( a \in A \) に対して \( a \leq s \)（\( s \) は上界）
• 任意の \( \varepsilon > 0 \) に対して、ある \( a \in A \) が存在して \( s – \varepsilon < a \)（\( s \) より小さい上界は存在しない）

このような数 \( s \) を sup \( A \) または \( \sup A \) と表記します。

下限（infimum, inf）の定義

同様に、\( A \subset \mathbb{R} \) の下限（infimum）は、次の2つの条件を満たす実数 \( t \) のことです：

• すべての \( a \in A \) に対して \( a \geq t \)（\( t \) は下界）
• 任意の \( \varepsilon > 0 \) に対して、ある \( a \in A \) が存在して \( a < t + \varepsilon \)（\( t \) より大きい下界は存在しない）

このような数 \( t \) を inf \( A \) または \( \inf A \) と表記します。

性質と定理

順序性と一意性

• \( \sup A \) や \( \inf A \) は存在すれば一意です。
• 有界上（bounded above）であれば、上限が存在し、有界下（bounded below）であれば、下限が存在します（実数の完備性）。

最大値・最小値との関係

もし \( A \) が最大値（最小値）を持つ場合、その値は上限（下限）と一致します：

• もし \( \max A \) が存在すれば \( \sup A = \max A \)
• もし \( \min A \) が存在すれば \( \inf A = \min A \)

上限・下限と数列の極限

数列 \( (a_n) \) に対して、以下のように定義されることがあります：

• \( \limsup_{n \to \infty} a_n = \inf_{n \in \mathbb{N}} \sup_{k \geq n} a_k \)
• \( \liminf_{n \to \infty} a_n = \sup_{n \in \mathbb{N}} \inf_{k \geq n} a_k \)

これにより、数列の収束・発散の性質を評価できます。

具体例で理解しよう

例1：閉区間

集合 \( A = [1, 3] \) に対して：

• \( \sup A = 3 \)
• \( \inf A = 1 \)

例2：開区間

集合 \( B = (1, 3) \) に対して：

• \( \sup B = 3 \)、ただし 3 は集合に含まれない
• \( \inf B = 1 \)、ただし 1 も含まれない

例3：有界な数列

数列 \( a_n = (-1)^n + \frac{1}{n} \) を考えます：

この数列は 1.5 付近と -1 付近を交互に振動します。すると：

• \( \limsup a_n = 1 \)
• \( \liminf a_n = -1 \)

例4：無限集合

集合 \( C = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \right\} \) に対して：

• \( \sup C = 1 \)
• \( \inf C = 0 \)

ただし \( 0 \) は集合に含まれません。

応用と重要性

解析学での応用

上限・下限の概念は、次のような分野で用いられます：

• 極限の定義（特に上極限・下極限）
• 連続性の判定
• 積分の定義（リーマン積分の下積分・上積分）

最適化理論

最大化・最小化問題において、対象となる関数が最大値・最小値を持たない場合でも、上限・下限が解の候補となります。

証明における役割

極限操作や集合の包含関係に関する証明では、上限や下限の性質がしばしば本質的な道具として使われます。

まとめ

sup（上限）とinf（下限）は、集合がどれだけ「大きいか」「小さいか」を測る基本的な道具です。最大値や最小値と似ていますが、集合に属する必要がないという点で一般的です。実数の完備性に基づいており、解析学を学ぶうえで避けては通れない重要な概念です。

ぜひ、具体例や応用を通して、sup・inf の理解をより深めてください。