高校数学で完全理解！素数が無限にあることの証明と応用問題まとめ

素数とは何か

素数とは、1と自分自身以外に正の約数を持たない自然数のことです。たとえば、2, 3, 5, 7, 11などが素数です。
注意してほしいのは、「1は素数ではない」ということです。素数の定義に「1以外の約数を持たない」という条件があるためです。

古代ギリシャの数学者ユークリッドが示した有名な証明で、「素数は無限に存在する」ことがわかります。
以下にその証明を詳しく見ていきましょう。

たとえば、2, 3, 5の3つの素数しかないと仮定しましょう。
すると、 \[ P = 2 \times 3 \times 5 = 30 \] \[ P + 1 = 31 \] 31は2でも3でも5でも割り切れません。実際、31は素数です。よって、仮定が間違っているとわかります。

「任意の自然数 \( n \) に対して、\( n! + 1 \) は少なくとも1つの素因数を持つ。」

これは、階乗 \( n! \) に1を加えると、すべての整数 \( 2 \) から \( n \) で割り切れないため、
新しい素因数が現れることを意味します。

例：\( n = 5 \) のとき

\[ 5! + 1 = 120 + 1 = 121 = 11^2 \]

11は2〜5では割り切れない新たな素数です。

ユークリッドの証明は、新たな素数の発見にも使えます。
たとえば、2, 3, 5, 7の積は \[ 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210 \] \[ 210 + 1 = 211 \]

211は素数であり、元のリストにない新たな素数です。

任意の自然数 \( n \) に対して、\( n \) 個連続する合成数が存在することを証明せよ。

以下のように構成します： \[ (n+1)! + 2, (n+1)! + 3, \dots, (n+1)! + (n+1) \] それぞれの数は、2〜\( n+1 \)のいずれかの数で割り切れるため合成数です。

解析的な方法（オイラーの証明）では、以下の無限級数の発散性を用います： \[ \sum_{p \text{ is prime}} \frac{1}{p} \] この級数は発散することが知られており、素数が無限に存在することを示しています。