二項係数の和・二乗和・三乗和を完全攻略｜高校数学 応用例題付き
目次
二項係数とは
二項係数とは、組合せの数学でよく登場する数で、\( n \)個のものから\( r \)個を選ぶ方法の数を表し、 \[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n – r)!} \] と定義されます。「n個の中からr個を選ぶ方法」として、数学Aの「場合の数と確率」や数学Bの「数列」でも頻繁に使われます。
二項定理 \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] で展開係数としても現れるため、非常に重要です。
二項係数の和
次の公式が有名です： \[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n \] これは、2通りの選び方をn回繰り返すことに対応しています。
例題1：
\[ \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} = ? \]
公式より、\( 2^5 = 32 \) となります。
証明（帰納法）
n = 1のとき：\(\binom{1}{0} + \binom{1}{1} = 1 + 1 = 2 = 2^1\)
n = m のとき成立すると仮定：\(\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m\)
n = m+1 のとき、
\[
\sum_{k=0}^{m+1} \binom{m+1}{k} = \sum_{k=0}^{m} \left( \binom{m}{k} + \binom{m}{k-1} \right) = 2 \cdot 2^m = 2^{m+1}
\]
となり、成立。
二乗の和
次の公式を用います： \[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n} \] この関係は意外かもしれませんが、「赤玉n個と白玉n個の2n個の玉からn個選ぶ方法」に対応します。
例題2：
\[ \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k}^2 = ? \]
\[ \binom{4}{0}^2 + \binom{4}{1}^2 + \cdots + \binom{4}{4}^2 = 1^2 + 4^2 + 6^2 + 4^2 + 1^2 = 1 + 16 + 36 + 16 + 1 = 70 \]
確認：\(\binom{8}{4} = 70\) より正しい。
三乗の和
三乗和に関する次の等式が知られています： \[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^3 = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \binom{n}{k} \binom{n}{k} = \binom{3n}{n} \cdot \text{係数付きの関係式は一般にはやや複雑になります}
もっと簡単な式として次のものがあります： \[ \left( \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \right)^2 = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n} \] \[ \left( \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \right)^3 = ? \] 三乗の場合は直接の公式が少ないため、以下のような帰納的・漸化的に処理するか、数学的帰納法・組合せ論で解釈します。
例題3：
\[ \left( \sum_{k=0}^{2} \binom{2}{k} \right)^3 = (1 + 2 + 1)^3 = 4^3 = 64 \] この値が実際に三乗和に一致するかは組合せ的解釈を必要とします。
応用問題と発展例
応用1：偶数項と奇数項の和
\[ \sum_{\text{偶数 }k} \binom{n}{k} = \sum_{\text{奇数 }k} \binom{n}{k} = 2^{n-1} \quad (n \geq 1) \]
nが1以上なら、偶数項と奇数項は等しくなります。
応用2：最大値を取る項
\(\binom{n}{k}\) は \( k = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \) のとき最大になります。
応用3：数学オリンピックレベル
次のような問題が出ることもあります： \[ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0 \quad (n \geq 1) \] これは、交代和がゼロになる性質です。
まとめ
- 二項係数の基本は \(\binom{n}{k}\)。定義・性質を正しく理解することが重要。
- 和に関する公式：
- \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\)
- \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}\)
- 三乗和は複雑なため、応用的理解や帰納的な解法が求められる。
- 偶奇や最大項に関する性質は入試でも頻出。
これらの性質や例題を通じて、二項係数の理解をより深め、応用力を高めていきましょう。
