この記事では、高校数学で扱う「不等式」の中でも特に応用的な位置づけにあるフランダースの不等式について、定義から証明、例題、さらには入試レベルの応用まで、徹底的に解説します。

目次

• フランダースの不等式とは？
• フランダースの不等式の証明
• 基本例題
• 応用問題とその解説
• まとめと学習のポイント

フランダースの不等式とは？

フランダースの不等式（Flanders’ Inequality）は、特定の条件下で使える積分型の不等式の一種で、次のように表されます：

正の実数 \( a, b \) に対して、

\[ \frac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{ab} \]

これは実はよく知られる相加相乗平均の不等式の変形であり、より一般的には以下の形でも知られています：

\[ \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \]

これはシュワルツの不等式（コーシー・シュワルツの不等式）であり、フランダースの不等式はこの応用形です。特に以下の形：

\[ \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{\left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2}{\sum_{i=1}^n b_i} \quad (\text{ただし } b_i > 0) \]

が、最も基本的なフランダースの不等式とされます。

フランダースの不等式の証明

以下では、基本形：

\[ \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{\left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2}{\sum_{i=1}^n b_i} \quad (\text{ただし } b_i > 0) \]

の証明を与えます。これはコーシー・シュワルツの不等式を用いて次のように導けます。

ベクトル \(\mathbf{u} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{b_1}}, \ldots, \frac{a_n}{\sqrt{b_n}} \right)\)、\(\mathbf{v} = \left( \sqrt{b_1}, \ldots, \sqrt{b_n} \right)\) を考えます。

このとき、

\[ \left( \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{b_i} \right)\left( \sum_{i=1}^n b_i \right) = \left( \sum_{i=1}^n u_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n v_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^n u_i v_i \right)^2 = \left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2 \]

よって、フランダースの不等式が成り立ちます。

基本例題

例題1：

次の不等式を証明せよ：

\[ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{6} \geq \frac{(x + y + z)^2}{11} \]

解答：

これはフランダースの不等式の形：

\[ \sum \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{(\sum a_i)^2}{\sum b_i} \]

に一致する。よって、

\( a_1 = x, a_2 = y, a_3 = z \)、 \( b_1 = 2, b_2 = 3, b_3 = 6 \) とすれば、

\[ \sum \frac{a_i^2}{b_i} = \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{6},\quad \sum b_i = 11,\quad \sum a_i = x + y + z \]

よって不等式は成立。

例題2：

正の実数 \( a, b \) に対して次を証明せよ：

\[ \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} \geq a + b \]

解答：

フランダースの不等式を用いて：

\[ \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} \geq \frac{(a + b)^2}{a + b} = a + b \]

よって成立。

応用問題とその解説

応用例1：数列の評価

数列 \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) が正で、任意の \( i \) に対して \( a_i \leq A \) を満たすとき、

\[ \sum_{i=1}^n a_i^2 \geq \frac{\left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2}{n} \]

を証明せよ。

解答：

これはフランダースの不等式で、すべての \( b_i = 1 \) とすれば、

\[ \sum \frac{a_i^2}{1} \geq \frac{(\sum a_i)^2}{n} \]

よって成立。

応用例2：最大・最小問題

正の実数 \( a, b, c \) に対して、

\[ \frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{c + a} + \frac{c^2}{a + b} \geq \frac{a + b + c}{2} \]

を証明せよ。

ヒント：不等式の形を変形してフランダースの不等式を適用できるようにする。

解答略。このタイプは数学オリンピックや難関大学でよく出題されます。

まとめと学習のポイント

• フランダースの不等式はコーシー・シュワルツの不等式の変形または応用形である。
• 証明にはベクトルの内積や代数的操作が用いられる。
• 多くの不等式問題を、形を見抜くことでフランダースの不等式として処理できる。
• 数学オリンピックや大学入試における典型的な応用不等式として覚えておくと有利。