Karamataの不等式とは？基本の理解

Karamataの不等式は、凸関数（または凹関数）に関する非常に強力な不等式で、関数の形が「凸」または「凹」であることを利用して、数列間の大小関係を比較するものです。 高校数学の範囲ではあまり触れられないこともありますが、数列の大小関係や平均値に関わる問題で大きな役割を果たします。

具体的には、数列の「メジャリゼーション」という関係を満たすときに、凸関数の値の合計がどう変化するかを示しています。

主要な概念：メジャリゼーション（優越関係）とは？

Karamataの不等式を理解するために重要なのが「メジャリゼーション（majorization）」という概念です。 これは、ある数列が別の数列よりも「ばらつきが小さい」または「偏りが少ない」という関係を意味します。

例えば、\(\displaystyle x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\) と \(\displaystyle y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)\) の二つの数列（ともに降順に並べるとします）について、\(x\) が \(y\) をメジャリゼーションするとき、次の条件を満たします：

\[ \sum_{i=1}^k x_i \leq \sum_{i=1}^k y_i \quad \text{（すべての } 1 \leq k \leq n-1 \text{ に対して）} \]

そして、

\[ \sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n y_i \]

これにより、\(x\) は \(y\) よりも「均一に近い」または「偏りが少ない」と言えます。

Karamataの不等式の公式の意味と条件

Karamataの不等式は以下のように表されます。 \(f\) を定義された区間で凸関数（もしくは凹関数）とし、\(x\) と \(y\) が上記のメジャリゼーションの関係 \(x \prec y\) を満たすとき、

\[ \sum_{i=1}^n f(x_i) \leq \sum_{i=1}^n f(y_i) \quad \text{（\(f\) が凸関数のとき）} \]

逆に、\(f\) が凹関数なら不等号は逆向きになります。 この不等式は、\(x\) のばらつきが少ない（均等に近い）ほど凸関数の合計値は小さくなることを意味しています。

この性質は、平均値の不等式やその他の不等式の証明で役立ちます。

【例題1】基本的なKaramataの不等式の適用

例として、凸関数 \(f(t) = t^2\) と二つの数列

\(\displaystyle x = (2, 2, 2), \quad y = (1, 2, 3)\)

を考えます。\(x\) と \(y\) はともに合計が \(6\) で、降順に並んでいます。 これらの部分和を比べてみましょう。

• \(k=1\) のとき: \(2 \leq 3\)
• \(k=2\) のとき: \(2 + 2 = 4 \leq 3 + 2 = 5\)

よって、\(x \prec y\) が成り立ちます。\(f(t)=t^2\) は凸関数なので、

\(\displaystyle \sum_{i=1}^3 f(x_i) = 2^2 + 2^2 + 2^2 = 12\)

\(\displaystyle \sum_{i=1}^3 f(y_i) = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14\)

よって、不等式 \(\sum f(x_i) \leq \sum f(y_i)\) が成立していることが確認できます。 これは \(x\) のほうが \(y\) より「均一」であるため、凸関数の合計が小さくなることを示しています。

【応用例題】Karamataの不等式を使った高度な問題

次に、より複雑な応用問題を考えます。 \(a, b, c\) は正の実数で、\(a + b + c = 3\) とします。関数 \(f(t) = \frac{1}{t}\) は凸関数です（区間 \((0, \infty)\) で）。 このとき、次の不等式を証明してください：

\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 \]

解説： ここで、\(\displaystyle x = (1,1,1)\) と \(\displaystyle y = (a,b,c)\) とすると、\(x\) は \(y\) をメジャリゼーションします。 なぜなら、\(x\) は合計も \(3\) で均一であり、\(y\) は不均一である可能性があるからです。 よって、\(x \prec y\) が成立します。

\(f(t) = \frac{1}{t}\) は凸関数であるため、Karamataの不等式より、

\[ \sum_{i=1}^3 f(x_i) \leq \sum_{i=1}^3 f(y_i) \]

すなわち、

\[ \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \]

これより、

\[ 3 \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \]

が証明されました。 これはよく知られた調和平均に関する不等式の一種で、Karamataの不等式を使って簡潔に証明できます。

まとめとポイントの復習

• Karamataの不等式は凸関数（または凹関数）とメジャリゼーションの関係を利用した強力な不等式である。
• メジャリゼーションは数列の「偏りの大小」を比較する概念である。
• 凸関数では「均一な数列のほうが関数の合計が小さい」、凹関数では逆の関係が成立する。
• 高校数学でも平方や逆数のような基本的な凸関数に適用でき、多くの不等式の証明に使える。
• 応用問題では、条件の整理とメジャリゼーションの確認が重要。

ぜひ問題に挑戦しながら理解を深めてみてください。