これで完璧！三次・四次・n次方程式の「解と係数の関係」徹底解説
目次
1. 解と係数の関係とは？
方程式の解とその係数には密接な関係があります。これは「解と係数の関係」と呼ばれ、特に因数分解が難しいときに役立ちます。
たとえば、2次方程式
\( ax^2 + bx + c = 0 \)
の解を \( \alpha, \beta \) とすると、以下の関係が成り立ちます：
- 和：\( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)
- 積：\( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)
これを3次や4次、さらには \(n\) 次方程式にも拡張したものが、今回のテーマです。
2. 三次方程式の場合
3次方程式：
\( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)
の解を \( \alpha, \beta, \gamma \) とすると、以下の関係が成り立ちます：
- 和：\( \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \)
- 積の2つずつの和：\( \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} \)
- 積：\( \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} \)
例題
例：方程式 \( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 \) の解と係数の関係を調べよう。
このとき係数は \( a = 1, b = -6, c = 11, d = -6 \)。よって解の和：
\( \alpha + \beta + \gamma = -\frac{-6}{1} = 6 \)
\( \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{11}{1} = 11 \)
\( \alpha\beta\gamma = -\frac{-6}{1} = 6 \)
3. 四次方程式の場合
4次方程式：
\( ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \)
の解を \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \) とすると、次の関係が成り立ちます：
- 和：\( \alpha + \beta + \gamma + \delta = -\frac{b}{a} \)
- 2つずつの積の和：\( \alpha\beta + \alpha\gamma + \alpha\delta + \beta\gamma + \beta\delta + \gamma\delta = \frac{c}{a} \)
- 3つずつの積の和：\( \alpha\beta\gamma + \alpha\beta\delta + \alpha\gamma\delta + \beta\gamma\delta = -\frac{d}{a} \)
- 積：\( \alpha\beta\gamma\delta = \frac{e}{a} \)
例題
例：\( x^4 – 10x^3 + 35x^2 – 50x + 24 = 0 \)
係数より、和：
\( \alpha + \beta + \gamma + \delta = 10 \)
2つずつの積の和：
\( \alpha\beta + \alpha\gamma + \cdots = 35 \)
3つずつの積の和：
\( \alpha\beta\gamma + \cdots = 50 \)
積：\( \alpha\beta\gamma\delta = 24 \)
4. 一般の \(n\) 次方程式
一般に、\(n\) 次方程式：
\( a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0 \)
の解を \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \) とすると、次の関係が成り立ちます。
- 1つの解の和：\( \sum \alpha_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \)
- 2つずつの積の和：\( \sum \alpha_i \alpha_j = \frac{a_{n-2}}{a_n} \)
- \(\vdots\)
- 全ての解の積：\( \prod \alpha_i = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \)
注釈
この関係は「対称式」とも呼ばれ、代数的に非常に重要な意味を持ちます。
5. 応用問題とその解き方
問題1：
\( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \) の3つの解のうち、1つが 2 で、他の2つの解の積が 3 であるとき、\(p, q, r\) を求めよ。
解説：
解を \( \alpha = 2, \beta, \gamma \) とする。条件より \( \beta\gamma = 3 \)、また \( \alpha + \beta + \gamma = -p \) より
\( 2 + \beta + \gamma = -p \)
また \( \beta + \gamma = -p – 2 \)、さらに \( \alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = q \)
\( 2\beta + 2\gamma + 3 = q \Rightarrow 2(\beta + \gamma) + 3 = q \Rightarrow 2(-p – 2) + 3 = q \)
\( q = -2p – 4 + 3 = -2p – 1 \)
積：\( \alpha\beta\gamma = -r \Rightarrow 2 \cdot 3 = 6 \Rightarrow r = -6 \)
よって：
- \( r = -6 \)
- \( q = -2p – 1 \)
このように、解と係数の関係を用いることで未知の係数を求めることができます。
6. まとめと重要ポイント
- 解と係数の関係は2次に限らず、3次、4次、一般の \(n\) 次にも拡張される。
- 具体的に解がわからなくても、和や積などの情報を得ることができる。
- 応用問題では、条件から方程式の係数や他の解を導くのに非常に有効。
この関係をしっかりと理解すれば、因数分解ができない複雑な方程式にも立ち向かうことができます。