高校生にもわかるリスク回避的効用関数の徹底解説｜経済学の基本を学ぼう

高校生にもわかるリスク回避的効用関数の徹底解説｜経済学入門

リスク回避的効用関数とは？

リスク回避的効用関数とは、経済学で「人が不確実な状況（リスク）にどう対応するか」を表す数学的な道具の一つです。簡単に言うと、「同じ期待値（平均的な利益）がある選択肢でも、リスクがある場合にはあまり好きではない」という人の気持ちをモデル化しています。

「効用関数」とは、人がどれだけ満足するかを数字で表したものです。お金や財産の量だけでなく、そのお金や財産から得られる満足感を考えます。リスク回避的効用関数は、特にリスクや不確実性のある状況での満足感を示します。

たとえば、宝くじを買うかどうか考えた時に、当たるかどうかは分からないけど「期待値」はプラスかもしれません。それでも、ほとんどの人はリスクを嫌い、宝くじを買わないことが多いですよね。これを効用の観点から説明できるのが「リスク回避的効用関数」です。

効用関数は、通常、U(x)のように書きます。ここで、xはお金や財産の量、U(x)はそのときの満足度（効用）を表します。効用関数がどのような形をしているかによって、人のリスクに対する態度がわかります。

「リスク」とは、結果が不確実であることを意味します。例えば、次のような状況を考えましょう。

選択肢Bの期待値は 0.5 × 200 + 0.5 × 0 = 100万円 なので、期待値は同じです。しかし、多くの人は選択肢Aを選びます。これは、リスク（結果が変わる不確実性）を嫌っているからです。

リスク回避性は効用関数の形で表現されます。例えば、効用関数が次のような形のとき：

\( U(x) = \sqrt{x} \quad (x > 0) \\ \)

この関数は「凹型」と言われ、リスクを嫌う性質を持っています。凹型の関数では、複数の結果の期待効用（平均した満足度）が、結果の期待値の効用より小さくなります。

具体的に計算してみましょう。

先ほどの例で、選択肢Bの期待効用は

\[ \text{期待効用} = 0.5 \times U(200) + 0.5 \times U(0) = 0.5 \times \sqrt{200} + 0.5 \times \sqrt{0} = 0.5 \times 14.14 + 0 = 7.07 \]

一方、選択肢Aの効用は

\[ U(100) = \sqrt{100} = 10 \]

期待効用の方が小さいので、人は期待値が同じでも、リスクのある選択肢Bよりリスクのない選択肢Aを好むことがわかります。

期待効用理論は経済学の基本理論の一つで、1950年代にジョン・フォン・ノイマンとオスカー・モルゲンシュテルンによって提唱されました。この理論は、「リスクがある選択肢でも、その期待効用が高ければ人は選ぶ」という考え方です。

期待効用理論では、ある選択肢の満足度は以下のように計算されます。

\[ EU = \sum_i p_i U(x_i) \]

ここで、\( p_i \)はそれぞれの結果\( x_i \)が起こる確率、\( U(x_i) \)は結果\( x_i \)の効用です。

リスク回避的効用関数は、\( U(x) \)が凹型の関数であることを意味します。凹型の効用関数では、結果のばらつきを嫌うため、リスク回避的な行動をとると説明されます。

リスク回避的効用関数にはいくつか代表的な形があります。主に使われるのは以下の3種類です。

対数効用関数：\( U(x) = \ln(x) \quad (x > 0) \)
平方根効用関数：\( U(x) = \sqrt{x} \quad (x > 0) \)
CRRA（相対リスク回避）効用関数： \[ U(x) = \frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}, \quad \gamma > 0, \gamma \neq 1 \] ここで、\( \gamma \)はリスク回避度合いを示すパラメータです。

これらはすべて凹型の関数で、リスク回避的な行動を数理的に説明します。例えば、CRRA効用関数では、\( \gamma \)が大きいほどリスク回避の度合いが強くなります。

リスク回避は経済だけでなく、日常生活や社会全体でも非常に重要な概念です。以下はその応用例です。

このように、リスク回避的効用関数は、人や組織が不確実な状況でどう行動するかを理解し、経済や社会のさまざまな場面で役立っています。