三角関数は、三角比から発展した非常に重要な関数であり、数学IIや数学IIIでも繰り返し登場します。この記事では、三角関数の基本公式を徹底的に解説し、それぞれの公式の意味や使い方、導出方法について丁寧に紹介します。

目次

• 1. 単位円と三角関数の定義
• 2. 基本三角比の関係
• 3. 三角関数におけるピタゴラスの定理
• 4. 加法定理
• 5. 倍角の公式
• 6. 三倍角の公式
• 7. 半角の公式
• 8. 逆数の関係
• 9. tanの公式まとめ
• 10. まとめと学習のポイント

1. 単位円と三角関数の定義

三角関数は単位円（半径1の円）を使って定義されます。原点を中心とする単位円上の点 \( P(\cos \theta, \sin \theta) \) を考えると、角度 \( \theta \) に対して次のように定義されます：

• 正弦（サイン）：\( \sin \theta \)
• 余弦（コサイン）：\( \cos \theta \)
• 正接（タンジェント）：\( \tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \)（ただし \( \cos \theta \neq 0 \)）

このようにして、三角関数は三角形に限らず、任意の実数の角度に拡張されます。

2. 基本三角比の関係

三角比には、以下のような基本的な関係があります：

• 三角形の定義：\( \sin \theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} \)、\( \cos \theta = \dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} \)、\( \tan \theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} \)
• タンジェントとサイン・コサインの関係：\( \tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \)

この関係を理解すると、複雑な問題も簡単に解けるようになります。

3. 三角関数におけるピタゴラスの定理

単位円を使うと、次の恒等式が成り立ちます：

\[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \]

これはピタゴラスの定理に対応しており、非常に重要な恒等式です。また、これを用いて以下の式も導けます：

\[ 1 + \tan^2 \theta = \dfrac{1}{\cos^2 \theta}, \quad 1 + \cot^2 \theta = \dfrac{1}{\sin^2 \theta} \]

4. 加法定理

角度の和や差に関する公式です。三角関数を扱う上で最も重要な公式の一つです。

• \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
• \( \sin(\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \)
• \( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \)
• \( \cos(\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)
• \( \tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 – \tan \alpha \tan \beta} \)
• \( \tan(\alpha – \beta) = \dfrac{\tan \alpha – \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \)

これらの公式は角度の合成や分解に用いられ、波の合成など物理分野にも応用されます。

5. 倍角の公式

角度を2倍にしたときの公式です：

• \( \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \)
• \( \cos 2\theta = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta – 1 = 1 – 2\sin^2 \theta \)
• \( \tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1 – \tan^2 \theta} \)

6. 三倍角の公式

三倍角の公式は以下の通りです：

• \( \sin 3\theta = 3\sin \theta – 4\sin^3 \theta \)
• \( \cos 3\theta = 4\cos^3 \theta – 3\cos \theta \)
• \( \tan 3\theta = \dfrac{3\tan \theta – \tan^3 \theta}{1 – 3\tan^2 \theta} \)

この公式は入試問題や演習でも頻出です。

7. 半角の公式

以下のように角度を半分にしたときの公式です：

• \( \sin^2 \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1 – \cos \theta}{2} \)
• \( \cos^2 \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1 + \cos \theta}{2} \)
• \( \tan \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \dfrac{1 – \cos \theta}{\sin \theta} \)

平方根を用いて以下の形で覚えることもあります：

• \( \sin \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 – \cos \theta}{2}} \)
• \( \cos \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos \theta}{2}} \)

8. 逆数の関係

三角関数には互いに逆数の関係をもつ関数もあります：

• \( \csc \theta = \dfrac{1}{\sin \theta} \)
• \( \sec \theta = \dfrac{1}{\cos \theta} \)
• \( \cot \theta = \dfrac{1}{\tan \theta} \)

9. tanの公式まとめ

tanに関する公式をまとめておきます：

• \( \tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
• \( 1 + \tan^2 \theta = \dfrac{1}{\cos^2 \theta} \)
• \( \tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \)
• \( \tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1 – \tan^2 \theta} \)
• \( \tan 3\theta = \dfrac{3\tan \theta – \tan^3 \theta}{1 – 3\tan^2 \theta} \)

10. まとめと学習のポイント

三角関数の基本公式は、計算問題や関数のグラフ、さらには物理・工学の分野でも頻出の重要事項です。覚えるだけでなく、どのように使うかを理解し、実際の問題で繰り返し練習することが大切です。

特に加法定理や倍角・半角の公式は、公式の丸暗記ではなく、導出や図形的な意味も意識すると応用力がつきます。