中間値の定理の定義と基本概念

中間値の定理（Intermediate Value Theorem）は、微分積分学の基本的な定理のひとつで、連続関数に関する重要な性質を示します。 この定理は、ある区間で連続な関数の値が、その区間の両端の関数値の間のすべての値を取ることを保証します。

直感的には、連続関数は「途切れなく」つながっているため、端点の間にある値を飛び越すことなく必ず通るということです。

中間値の定理の直感的理解

例えば、坂道を上ったり下ったりすることを想像してください。出発地点の標高が100メートル、終点の標高が200メートルなら、必ずどこかで150メートルの地点を通ります。 この「必ず通る」という性質が、中間値の定理の本質です。

もし道が途中で途切れていたり（連続でなかったり）すると、この保証は成り立ちません。

中間値の定理の厳密な定式化

関数 \( f \) が閉区間 \([a,b]\) 上で連続であるとき、任意の値 \( y \) が \[ f(a) \leq y \leq f(b) \quad \text{または} \quad f(b) \leq y \leq f(a) \] を満たすならば、ある \( c \in [a,b] \) が存在して \[ f(c) = y \] を満たします。

ここで、「連続である」とは、任意の \( \epsilon > 0 \) に対してある \( \delta > 0 \) が存在し、 \[ |x – c| < \delta \implies |f(x) - f(c)| < \epsilon \] を満たすことを指します。

具体例で学ぶ中間値の定理

例1：線形関数

関数 \( f(x) = 2x + 1 \) を考えます。区間 \([0,2]\) での関数値はそれぞれ \[ f(0) = 1, \quad f(2) = 5 \] です。中間値の定理より、任意の \( y \in [1,5] \) に対して、ある \( c \in [0,2] \) が存在し、 \[ f(c) = y \] が成り立ちます。例えば \( y=3 \) のとき、 \[ 2c + 1 = 3 \implies c=1 \] となり、実際に \( c=1 \) は区間 \([0,2]\) に含まれています。

例2：二次関数

関数 \( f(x) = x^2 – 4 \) を区間 \([1,3]\) で考えます。 \[ f(1) = 1^2 – 4 = -3, \quad f(3) = 9 – 4 = 5 \] ここで、値 \( y=0 \) は \(-3 \leq 0 \leq 5\) の範囲内なので、 \[ f(c) = 0 \implies c^2 – 4 = 0 \implies c = \pm 2 \] このうち \( c=2 \) は区間 \([1,3]\) に含まれています。よって中間値の定理が成立しています。

例3：非連続関数の例

関数 \[ f(x) = \begin{cases} 1 & x < 0 \\ -1 & x \geq 0 \end{cases} \] は区間 \([-1,1]\) で定義されていますが、\( x=0 \) で不連続です。 ここで \( f(-1)=1 \), \( f(1)=-1 \) ですが、例えば \( y=0 \) はこの間にあります。 しかし、\( f(x) \) はどこにも \(0\) を取りません。これは中間値の定理の仮定「連続性」が破られているためです。

中間値の定理の応用例

方程式の解の存在証明

中間値の定理は、ある関数の方程式 \[ f(x) = 0 \] の解が区間内に存在することを保証するために使われます。特に、\( f(a) \) と \( f(b) \) の符号が異なる場合、 \[ f(a) \cdot f(b) < 0 \] のとき、必ず \( c \in (a,b) \) が存在して \( f(c) = 0 \) となります。

数値計算法（例えば二分法）

中間値の定理は、根を数値的に求める方法である「二分法」の理論的根拠にもなります。 連続関数の符号が異なる区間を半分に分け、根が含まれる方の半区間をさらに細かく探索していきます。

連続性の証明や解析の基礎

連続関数の性質を扱う際の基礎として、中間値の定理は多くの証明や理論の出発点となります。

補足と注意点

• 中間値の定理は「連続関数」に限り成立します。連続でない場合は成り立たない可能性があります。
• この定理は関数の「値の範囲」について保証しますが、値の「個数」や「一意性」は保証しません。
• 区間は「閉区間」であることが必要です。開区間だけでは適用できない場合があります。