べクトルの一次独立・一次従属について徹底解説
一方、一次従属： ベクトルの集合が一次従属であるとは、少なくとも一つのベクトルが他のベクトルの線形結合として表現できる場合を指します。すなわち、次の線形結合がゼロベクトルになる解が無限に存在します：
\[ c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0} \] ここで、少なくとも1つの$c_i \neq 0$が成り立つ場合、ベクトル$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$は一次従属です。
一次独立と一次従属の例
例を使って一次独立性と一次従属性を理解してみましょう。次のベクトル集合を考えます：
\[ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] このベクトル集合が一次独立かどうかを確かめるために、次の線形結合を考えます：
\[ c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 = \mathbf{0} \] これを展開すると、次のようになります：
\[ c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] つまり、次の連立方程式が得られます：
\[ \begin{cases} c_1 = 0 \\ c_2 = 0 \end{cases} \] この解は唯一です。したがって、ベクトル$\mathbf{v}_1$と$\mathbf{v}_2$は一次独立です。
もう一つの例として、次のベクトル集合を考えます：
\[ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \] この場合、次の線形結合を考えます：
\[ c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 = \mathbf{0} \] 展開すると：
\[ c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] これは次の連立方程式に変わります：
\[ \begin{cases} c_1 + 2c_2 = 0 \\ 2c_1 + 4c_2 = 0 \end{cases} \] この連立方程式は無限に多くの解を持ちます。例えば、$c_1 = -2c_2$として、無限に多くの解が得られます。したがって、ベクトル$\mathbf{v}_1$と$\mathbf{v}_2$は一次従属です。
一次独立・一次従属の条件
ベクトルの一次独立性や一次従属性を判断するための条件は、行列のランクに関連しています。特に、ベクトルの集合が一次独立であるためには、次の条件を満たす必要があります：
- ベクトルの行列を作成し、その行列のランクがベクトルの数と等しい。
- 行列の行列式がゼロでない場合、その列ベクトルは一次独立である。
例えば、次の行列を考えます：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \] この行列の行列式は：
\[ \det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \] 行列式がゼロでないので、列ベクトルは一次独立です。
一次独立・一次従属の応用
一次独立性と一次従属性は、線形代数の多くの応用において重要な役割を果たします。特に、ベクトル空間の基底を求める際にこれらの概念は欠かせません。例えば、次のように応用できます：
- 線形方程式の解空間を求める際に、解の基底を求める。
- 線形変換の特性を調べる。
- 多次元データの次元削減技術（主成分分析など）で使用される。
