対角行列とは？定義から性質・例まで徹底解説

対角行列の定義

対角行列とは、正方行列のうち、主対角線上の要素以外のすべての成分が0である行列のことです。主対角線とは、左上から右下にかけて並んでいる要素の列を指します。

\( n \times n \) の行列 \( D = (d_{ij}) \) において、 \[ d_{ij} = \begin{cases} a_i & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \end{cases} \] を満たすとき、\( D \) は対角行列であるといいます。

以下に具体的な例を挙げます。

3次の対角行列の例： \[ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \]
対角成分がすべて同じ行列（スカラー行列）： \[ S = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \]
単位行列（特別な対角行列）： \[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

加法・スカラー倍の閉包性：
2つの対角行列を加えると、また対角行列になります。スカラー倍も同様です。
例： \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \]
乗法の簡易性：
対角行列同士の積は、対応する対角成分の積で得られます。 \[ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac & 0 \\ 0 & bd \end{pmatrix} \]
逆行列の簡単な構成：
すべての対角成分が 0 でない対角行列は、次のように簡単に逆行列を求められます。 \[ D^{-1} = \begin{pmatrix} 1/d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1/d_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1/d_n \end{pmatrix} \]
転置行列も対角行列：
対角行列の転置は元の行列と一致します。 \[ D^\mathrm{T} = D \]
固有値と固有ベクトル：
対角行列の固有値は対角成分そのもので、各標準基底ベクトルが固有ベクトルです。
例： \[ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \Rightarrow \text{固有値 } \lambda_1, \lambda_2 \]

対角行列は以下のような場面で応用されます。