数ベクトルとは何か？ノルムや内積とは？
目次
数ベクトルとは？その定義と基本的な性質
数ベクトルとは、数（実数や複素数など）を成分として持つ、有限個の数の並びのことです。 通常、n 次元の数ベクトルとは、次のように表されます：
\[ \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) \]
各成分 \( v_1, v_2, \ldots, v_n \) は実数（または複素数）であり、\(\mathbf{v}\) は \(\mathbb{R}^n\)（または \(\mathbb{C}^n\)）の要素です。
数ベクトルは、次のような操作が可能です：
- 加法： \((a_1, a_2, \ldots, a_n) + (b_1, b_2, \ldots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n)\)
- スカラー倍： \(c \cdot (a_1, a_2, \ldots, a_n) = (c a_1, c a_2, \ldots, c a_n)\)
これらの演算は、ベクトル空間の基本操作です。
ノルム（長さ）とは？
数ベクトルのノルム（英: norm）は、その「大きさ」や「長さ」を表します。 通常はユークリッドノルム（2-ノルム）が使われます。次のように定義されます：
\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} \]
これは、ベクトルを原点からの距離として解釈できます。例えば、2次元空間で \(\mathbf{v} = (3, 4)\) の場合：
\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \]
その他にも、\(p\)-ノルムと呼ばれる一般化されたノルムもあります：
\[ \|\mathbf{v}\|_p = \left( \sum_{i=1}^{n} |v_i|^p \right)^{1/p} \]
特に \(p = 1\) のときはマンハッタン距離とも呼ばれ、\(p \to \infty\) のときは最大成分の絶対値（\(\max |v_i|\)）になります。
内積（ドット積）とは？
2つの数ベクトル \(\mathbf{a} = (a_1, \ldots, a_n)\), \(\mathbf{b} = (b_1, \ldots, b_n)\) の内積（英: inner product）は以下のように定義されます：
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \]
この内積には幾何学的な意味もあります。それは以下の式で表されます：
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta \]
ここで \(\theta\) は2つのベクトルのなす角です。内積が0のとき、2つのベクトルは直交（垂直）していることになります。
具体例で理解しよう
例1：ノルムの計算
ベクトル \(\mathbf{v} = (6, 8)\) のノルムを求めると：
\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
例2：内積の計算
ベクトル \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\), \(\mathbf{b} = (4, -5, 6)\) に対して：
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 – 10 + 18 = 12 \]
例3：直交するベクトル
ベクトル \(\mathbf{a} = (1, 2)\), \(\mathbf{b} = (2, -1)\) の内積は：
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 2 – 2 = 0 \]
よって、これらのベクトルは直交しています。
数ベクトルの定義、ノルム、内積は、線形代数の基礎であり、物理学、機械学習、統計学など様々な分野で応用されています。
