固有値と最小多項式の違いを完全解説！行列の本質を理解しよう
目次
固有多項式とは
行列 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) に対して、固有多項式（characteristic polynomial）は次のように定義されます。
\[ p_A(\lambda) = \det(\lambda I – A) \]
この多項式の根（ゼロ点）は、行列 \( A \) の固有値（eigenvalues）です。固有値とは、次の条件を満たすスカラー \( \lambda \) のことです：
\[ Av = \lambda v \]
ここで \( v \neq 0 \) は固有ベクトルです。固有多項式は次数が \( n \) の多項式であり、行列の固有構造を知るための第一歩となります。
最小多項式とは
行列 \( A \) の最小多項式（minimal polynomial）とは、次の条件を満たす一意的な一変数多項式 \( m_A(x) \) のことです：
- \( m_A(A) = 0 \)（行列の代入でゼロになる）
- この条件を満たす中で、次数が最小
- 先頭係数（最高次の係数）は 1（モニック多項式）
最小多項式は、行列が満たす最小の多項式的関係を表しており、固有多項式の約数になります。
固有多項式と最小多項式の違い
| 特徴 | 固有多項式 | 最小多項式 |
|---|---|---|
| 定義 | \( \det(\lambda I – A) \) | \( m_A(x) \) s.t. \( m_A(A) = 0 \), 最小次数 |
| 次数 | \( n \)（行列のサイズ） | 最大で \( n \) |
| 存在性 | 必ず存在 | 必ず存在 |
| 一意性 | 一意 | モニック条件で一意 |
| 因数関係 | 最小多項式の倍数 | 固有多項式の約数 |
| 固有値の情報 | すべての固有値を含む | 重複を除いた固有値を含む |
具体例で理解しよう
例1：対角行列
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]
このとき、固有多項式は \[ p_A(\lambda) = (\lambda – 2)(\lambda – 3) \] 最小多項式も \[ m_A(x) = (x – 2)(x – 3) \] となり、両者は一致します。
例2：ジョルダン細胞を含む場合
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]
このとき、固有多項式は \[ p_A(\lambda) = (\lambda – 2)^2 \] ですが、最小多項式は \[ m_A(x) = (x – 2)^2 \] となります。これは重複度も含めて必要な次数を表します。
例3：最小多項式が固有多項式と異なる場合
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow p_A(\lambda) = (\lambda – 1)^3,\quad m_A(x) = (x – 1)^3 \]
ここでは最小多項式も三重根を持ちますが、行列の構造に依存して最小多項式の形は決まります。例えばジョルダン標準形が対角化可能であれば、最小多項式は一次式の積になります。
応用と重要性
最小多項式と固有多項式は、以下のような場面で非常に重要です：
- 行列の対角化判定：最小多項式が一次式の積なら対角化可能
- 線形微分方程式の解法：指数関数 \( e^{At} \) の計算に必要
- 関数計算：行列に関数を適用する（例：行列指数）とき、最小多項式が役立つ
- ジョルダン標準形の構成：固有多項式と最小多項式で構造を理解
また、行列の冪（べき）を最小多項式の関係から簡略化することもできるため、計算効率の観点からも有用です。
