割り算の世界を拡張する！剰余類とその使い道
「割った余り」は学校で習う基本的な数学の概念ですが、実はこの「余り」の考え方を発展させたものが、剰余類（じょうよりゅう）という強力な概念です。本記事では、整数の割り算における剰余の考え方を基に、剰余類や合同式といった重要なトピックについて、例とともに丁寧に解説します。
目次
割った余りの復習（剰余）
整数 \( a \) を正の整数 \( n \) で割ったとき、割り切れない部分として現れる値を「余り（剰余）」といいます。これは次のように表せます。
\[ a = nq + r,\quad 0 \leq r < n \]
たとえば、17 を 5 で割ると、商は 3、余りは 2 なので、
\[ 17 = 5 \times 3 + 2 \]
このとき、17 の 5 による剰余は 2 です。
剰余による同値関係
整数同士が「同じ余り」を持つとき、それらは「合同である」と言います。これは以下のように書きます。
\[ a \equiv b \pmod{n} \]
たとえば、17 と 2 は 5 で割った余りがどちらも 2 なので、
\[ 17 \equiv 2 \pmod{5} \]
この関係は「同値関係（equivalence relation）」の一種で、次の3つの性質を持ちます：
- 反射性：\( a \equiv a \pmod{n} \)
- 対称性：\( a \equiv b \pmod{n} \) ならば \( b \equiv a \pmod{n} \)
- 推移性：\( a \equiv b \pmod{n},\ b \equiv c \pmod{n} \) ならば \( a \equiv c \pmod{n} \)
剰余類の定義と構造
ある整数 \( a \) に対して、同じ余りを持つすべての整数の集合を「剰余類」と呼びます。
\[ [a]_n = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv a \pmod{n} \} \]
たとえば、\( [2]_5 \) は以下のような無限集合です：
\[ [2]_5 = \{ \ldots, -8, -3, 2, 7, 12, \ldots \} \]
これらの数はすべて 5 で割ったときの余りが 2 になります。
剰余類の記法と読み方
剰余類は角括弧で表し、代表元（通常は 0 以上 \( n-1 \) 以下の数）を使って記述します：
\[ [a]_n \quad \text{または} \quad \overline{a} \]
たとえば、5 を法としたとき、以下のような剰余類が存在します：
- \([0]_5 = \{ \ldots, -10, -5, 0, 5, 10, \ldots \}\)
- \([1]_5 = \{ \ldots, -9, -4, 1, 6, 11, \ldots \}\)
- \([2]_5 = \{ \ldots, -8, -3, 2, 7, 12, \ldots \}\)
- \([3]_5 = \{ \ldots, -7, -2, 3, 8, 13, \ldots \}\)
- \([4]_5 = \{ \ldots, -6, -1, 4, 9, 14, \ldots \}\)
つまり、\( \mathbb{Z}_5 \)（5を法とした整数の剰余類全体）は以下のように表されます：
\[ \mathbb{Z}_5 = \{ [0]_5, [1]_5, [2]_5, [3]_5, [4]_5 \} \]
剰余類上の演算
剰余類同士でも加減乗算が定義できます。演算は代表元同士に対して行い、その結果の剰余類を取るという方法です。
加算
\[ [a]_n + [b]_n = [a + b]_n \]
例：\( [3]_5 + [4]_5 = [7]_5 = [2]_5 \)
乗算
\[ [a]_n \cdot [b]_n = [ab]_n \]
例：\( [2]_5 \cdot [3]_5 = [6]_5 = [1]_5 \)
このような演算によって、剰余類の集合 \( \mathbb{Z}_n \) は代数構造（例えば環や体）としての性質を持つようになります。
具体例で理解しよう
以下に具体例をいくつか挙げて理解を深めましょう。
例1：\( n = 4 \) の場合
\[ \mathbb{Z}_4 = \{ [0]_4, [1]_4, [2]_4, [3]_4 \} \]
加算表：
| + | [0] | [1] | [2] | [3] |
|---|---|---|---|---|
| [0] | [0] | [1] | [2] | [3] |
| [1] | [1] | [2] | [3] | [0] |
| [2] | [2] | [3] | [0] | [1] |
| [3] | [3] | [0] | [1] | [2] |
例2：\( n = 6 \) のときの乗算
\[ [2]_6 \cdot [3]_6 = [6]_6 = [0]_6 \]
このように、剰余類では掛け算によって 0 になる（零因子が存在する）ことがあります。
例3：素数を法に取った場合
法が素数 \( p \) のとき、すべての非ゼロ剰余類が逆元を持ち、剰余類の集合 \( \mathbb{Z}_p \) は体になります。
たとえば \( \mathbb{Z}_7 \) では、
\[ [3]_7 \cdot [5]_7 = [15]_7 = [1]_7 \]
よって、[5]_7 は [3]_7 の逆元です。
剰余類は一見すると単なる余りの延長のように思えますが、その背後には深い数学的構造があります。整数論、代数学、暗号理論など多くの分野で活用されている重要な概念です。まずは具体的な例から始めて、徐々に抽象的な性質にも慣れていきましょう。
