【群論】ラグランジュの定理：定義・証明・応用例を徹底解説
ラグランジュの定理とは
ラグランジュの定理は、有限群とその部分群の位数に関する基本的な定理です。具体的には、有限群 \( G \) の任意の部分群 \( H \) に対して、次の関係が成り立ちます。
ラグランジュの定理： 有限群 \( G \) の部分群 \( H \) に対して、以下が成り立つ。
- \( |G| = (G:H) \cdot |H| \)
- 特に、部分群 \( H \) の位数 \( |H| \) は \( G \) の位数 \( |G| \) の約数である。
- また、任意の元 \( g \in G \) の位数は \( |G| \) の約数である。
ここで、\( |G| \) は群 \( G \) の位数（要素の個数）、\( (G:H) \) は部分群 \( H \) の指数（左剰余類の個数）を表します。
ラグランジュの定理の証明
ラグランジュの定理の証明には、左剰余類とその性質を利用します。
左剰余類と指数
群 \( G \) の部分群 \( H \) に対して、任意の \( g \in G \) に対し、左剰余類 \( gH = \{ gh \mid h \in H \} \) を定義します。
左剰余類は以下の性質を持ちます。
- 任意の \( g \in G \) に対して、\( |gH| = |H| \)
- 任意の \( g_1, g_2 \in G \) に対して、\( g_1H = g_2H \) または \( g_1H \cap g_2H = \emptyset \)
左剰余類全体の集合 \( G/H = \{ gH \mid g \in G \} \) の要素数を部分群 \( H \) の指数 \( (G:H) \) と呼びます。
定理の証明
群 \( G \) は左剰余類の disjoint な和として表されます。各左剰余類の要素数は \( |H| \) であり、左剰余類の個数は \( (G:H) \) です。したがって、
\[ |G| = (G:H) \cdot |H| \]
これにより、\( |H| \) は \( |G| \) の約数であることが示されます。また、任意の元 \( g \in G \) に対して、\( g \) が生成する部分群 \( \langle g \rangle \) の位数は \( g \) の位数であり、これは \( |G| \) の約数となります。
ラグランジュの定理の応用例
例1：位数15の群の部分群
位数15の群 \( G \) は、位数4の部分群を持つことはできません。なぜなら、4は15の約数ではないからです。
例2：素数位数の群は巡回群
位数が素数 \( p \) の群 \( G \) は、任意の \( g \in G \)（ただし \( g \neq e \)）に対して、\( \langle g \rangle = G \) となります。したがって、\( G \) は巡回群です。
例3：フェルマーの小定理の証明
フェルマーの小定理は、ラグランジュの定理を用いて証明できます。具体的には、素数 \( p \) に対して、任意の整数 \( a \)（ただし \( p \nmid a \)）に対して、\( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \) が成り立ちます。
