はじめての写像の構造保持：代数的構造をつなぐ橋
目次
写像の構造保持とは？
「写像の構造保持」とは、ある代数的な構造を持つ集合（たとえば群や環など）から別の構造を持つ集合への写像が、その構造を保つ性質を指します。数学ではこのような写像を準同型写像（homomorphism）と呼びます。
簡単に言えば、元の集合での演算結果が、写像先でも同じようなルールで再現されるような対応です。
例えば、以下のような状況を考えます。
- 集合 \( A \) 上に演算 \( * \) が定義されている。
- 集合 \( B \) 上に演算 \( \circ \) が定義されている。
- 写像 \( f: A \to B \) が次を満たす：\( f(a * a’) = f(a) \circ f(a’) \)（すべての \( a, a’ \in A \) に対して）。
このとき、\( f \) は構造保存写像（準同型写像）と呼ばれます。
具体例で理解する構造保存写像
例1：整数から偶数への写像
写像 \( f: \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z} \) を \( f(n) = 2n \) と定義します。
このとき、加法に関して次のような性質が成り立ちます：
\[ f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b) \]
このように加法の構造を保っているため、これは加法群の準同型写像です。
例2：行列写像
行列の集合 \( M_n(\mathbb{R}) \)（\( n \times n \) の実数行列全体）において、転置操作 \( T: A \mapsto A^T \) は次の性質を満たします。
\[ T(A + B) = A^T + B^T, \quad T(AB) = B^T A^T \]
このうち加法に関しては構造保存されていますが、乗法に関しては順序が逆になるため、これは反準同型写像（antihomomorphism）と呼ばれます。
さまざまな種類の構造保存写像
準同型写像には以下のような分類があります：
- 単射準同型（モノモルフィズム）：写像が一対一である。
- 全射準同型（エピモルフィズム）：すべての値に対して像がある。
- 同型写像（アイソモルフィズム）：単射かつ全射であり、構造を完全に保存する。
- 自己同型（オートモルフィズム）：集合自身への同型写像。
構造保存写像の性質
- 単位元は写像によって単位元に写される。
- 逆元が存在する場合、その像も逆元になる。
- 写像の合成も準同型になる。
- 核（kernel）は構造の本質的な部分を捉える：写像でゼロになる元の集合。
たとえば、群準同型写像 \( f: G \to H \) において、核は
\[ \ker(f) = \{ g \in G \mid f(g) = e_H \} \]
で定義されます。ここで \( e_H \) は \( H \) の単位元です。
なぜ重要なのか？
構造保存写像の考え方は、異なる代数構造の間の「類似性」や「対応関係」を明らかにする強力な道具です。
特に、複雑な構造をより簡単な構造へと写像することで、問題を簡素化して解析することができます。これにより、抽象的な代数構造を理解しやすくなります。
同型写像を通じて、「見た目は異なっても同じ構造を持っている」ことが示されると、別の視点から問題を見ることができ、証明や分類が格段に楽になります。
構造保存写像は、群論、環論、線形代数、写像代数、さらにはトポロジーや圏論など、数学のさまざまな分野で中心的な役割を果たします。
