ピタゴラス数の詳細解説【初心者向け】
ピタゴラス数の詳細解説
1. ピタゴラス数とは
ピタゴラス数とは、3つの正の整数 \( a \)、\( b \)、\( c \) が
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
を満たす組み合わせのことを指します。これらの数は、直角三角形の辺の長さとして利用され、特に有名な例としては \( (3, 4, 5) \) があります。
2. 原始ピタゴラス数
原始ピタゴラス数とは、ピタゴラス数の中でも \( a \)、\( b \)、\( c \) が互いに素（最大公約数が1）であるものを指します。例えば、\( (3, 4, 5) \) は原始ピタゴラス数ですが、\( (6, 8, 10) \) は \( (3, 4, 5) \) の2倍であり、互いに素ではないため原始ピタゴラス数ではありません。
3. ピタゴラス数の生成方法
原始ピタゴラス数は、互いに素で一方が奇数、他方が偶数である正の整数 \( m \)、\( n \) を用いて以下の式で生成できます：
\( a = m^2 – n^2 \)
\( b = 2mn \)
\( c = m^2 + n^2 \)
この方法により、すべての原始ピタゴラス数を生成することが可能です。
4. 例とその生成元
以下に、いくつかの原始ピタゴラス数と、それらを生成する \( m \)、\( n \) の値を示します。
| 番号 | a | b | c | m | n |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 4 | 5 | 2 | 1 |
| 2 | 5 | 12 | 13 | 3 | 2 |
| 3 | 7 | 24 | 25 | 4 | 3 |
| 4 | 8 | 15 | 17 | 4 | 1 |
| 5 | 9 | 40 | 41 | 5 | 4 |
5. 特殊な性質
原始ピタゴラス数の中には、特定の特徴を持つものがあります。例えば、\( (3, 4, 5) \) は連続する3つの整数からなる唯一の原始ピタゴラス数です。また、辺の長さが等差数列を成す原始ピタゴラス数は存在しません。
6. ピタゴラス数の無限性
任意の自然数 \( n \) に対して、\( a = 3n \)、\( b = 4n \)、\( c = 5n \) とすると、これらもピタゴラス数になります。例えば、\( n = 2 \) の場合、\( (6, 8, 10) \) となり、これは \( (3, 4, 5) \) の2倍です。このように、ピタゴラス数は無限に存在します。
7. 練習問題
以下の組み合わせがピタゴラス数かどうかを判断してください。
- \( (6, 8, 10) \)
- \( (7, 24, 25) \)
- \( (9, 12, 15) \)
- \( (11, 60, 61) \)
答え：
1. はい（\( (3, 4, 5) \) の2倍）
2. はい（原始ピタゴラス数）
3. はい（\( (3, 4, 5) \) の3倍）
4. はい（原始ピタゴラス数）
