目次

• 因数定理とは？
• なぜ因数定理を使うのか？
• 基本的な例題
• 応用問題にチャレンジ
• まとめ

因数定理とは？

因数定理は、多項式に関する基本的かつ強力な定理のひとつです。内容は次のようになります。

因数定理：
多項式 \( f(x) \) において、ある実数 \( a \) を代入したときに \( f(a) = 0 \) であれば、\( (x – a) \) は \( f(x) \) の因数である。

言い換えると、ある数を代入して値が 0 になるなら、その数に対応する一次式は因数になるということです。

なぜ因数定理を使うのか？

因数定理を使うと、複雑な多項式の因数分解が非常に簡単になります。特に次のような場面で活躍します：

• 高次の多項式を因数分解したいとき
• 多項式の根（解）を見つけたいとき
• 式の簡略化を行いたいとき

この定理は、方程式の解を見つける糸口にもなるので、入試でも非常によく出題されます。

基本的な例題

例題1：簡単な因数定理の適用

次の多項式 \( f(x) = x^2 – 5x + 6 \) に対して、因数定理を用いて因数分解しなさい。

解説：

代入して調べてみましょう。

• \( f(1) = 1 – 5 + 6 = 2 \)
• \( f(2) = 4 – 10 + 6 = 0 \) → \( x – 2 \) は因数！
• \( f(3) = 9 – 15 + 6 = 0 \) → \( x – 3 \) も因数！

よって、\( f(x) = (x – 2)(x – 3) \)

例題2：一次式の因数を確認

多項式 \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 2x – 3 \) について、\( x + 1 \) が因数かどうかを因数定理を使って調べましょう。

解説：

\( x + 1 = 0 \) のとき \( x = -1 \)。これを代入：

\( f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 – 2(-1) – 3 = -2 + 3 + 2 – 3 = 0 \)

よって、\( x + 1 \) は因数である。

応用問題にチャレンジ

例題3：因数定理と筆算除法の組み合わせ

多項式 \( f(x) = x^3 – 2x^2 – 5x + 6 \) を因数定理と多項式の割り算を用いて因数分解せよ。

解説：

まず、整数解の可能性として ±1, ±2, ±3, ±6 を試す。

\( f(1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0 \) → \( x – 1 \) は因数！

\( f(x) \div (x – 1) \) を筆算または組立除法で割る：

結果：\( f(x) = (x – 1)(x^2 – x – 6) \)

さらに因数分解：\( x^2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2) \)

よって、完全な因数分解は：

\( f(x) = (x – 1)(x – 3)(x + 2) \)

例題4：因数定理を使って未知数を決定

次の多項式 \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 6 \) が、\( (x – 1) \) を因数に持つとき、a, b の値を求めよ。

解説：

\( x = 1 \) を代入して、\( f(1) = 0 \) となるようにする。

\( f(1) = 1 + a + b + 6 = 0 \Rightarrow a + b = -7 \) …①

さらに、例えば \( x = -1 \) も因数とする場合や、他の条件があれば、連立して解ける。

ここでは a + b = -7 のように、因数定理を利用して係数を求めることができる。

まとめ

因数定理は、多項式の因数を見つけるための非常に重要なツールです。基本的な使い方をしっかり身につければ、高次式の因数分解や、方程式の解法において大きな力を発揮します。

• 「代入して 0 になるか」をチェック！
• 0 になるなら、それに対応する一次式は因数！
• 筆算除法や組立除法と合わせて使うと便利！

たくさんの例題に触れて、手を動かしながら理解を深めていきましょう。