目次

• 逆関数とは？3つの定義
• 定義の違いと使い分け
• 例題で理解する逆関数
• まとめ

逆関数とは？3つの定義

逆関数とは、「関数の出力から入力を求める」機能をもつ関数のことです。逆関数には以下の3つの定義があります。

定義①：合成関数による定義

関数 \( f(x) \) に対して、その逆関数 \( f^{-1}(x) \) が存在するとき、次の関係が成り立ちます。

\[ f(f^{-1}(x)) = x, \quad f^{-1}(f(x)) = x \]

この定義は、「関数を通ったあと逆関数を通れば元に戻る」という性質を表しています。

定義②：対応の入れ替え

関数 \( f(x) \) が「入力 \( x \) に対して出力 \( y \) を対応させる」とすると、逆関数は「出力 \( y \) に対して入力 \( x \) を対応させる」関数です。つまり、点 \( (a, b) \) がグラフ上にあるとき、逆関数のグラフには点 \( (b, a) \) が存在します。

定義③：関数の式から求める代数的定義

関数 \( y = f(x) \) の逆関数は、次のようにして求めます：

1. 関数の式を \( y = \) の形で書く
2. 変数 \( x \) と \( y \) を入れ替える
3. 新しい式を \( y = \) の形に直す

このとき得られた式が \( f^{-1}(x) \) の表す逆関数です。

定義の違いと使い分け

3つの定義はそれぞれ異なる場面で活用されます。

• 定義①（合成関数）は、逆関数の性質を確認するために最もよく使われます。関数と逆関数の関係が正しいかをチェックするのに便利です。
• 定義②（対応の入れ替え）は、グラフの形や対称性を考えるときに役立ちます。関数と逆関数のグラフは、直線 \( y = x \) に関して対称です。
• 定義③（代数的手法）は、実際に式を求めたいときに使います。問題演習ではこの方法が主になります。

例題で理解する逆関数

例題1：基本的な逆関数

関数 \( f(x) = 2x + 3 \) の逆関数を求めなさい。

解答：

1. \( y = 2x + 3 \)
2. 変数を入れ替えて \( x = 2y + 3 \)
3. 解いて \( y = \frac{x – 3}{2} \)

したがって、逆関数は \[ f^{-1}(x) = \frac{x – 3}{2} \]

例題2：平方関数の逆関数（定義域に注意）

関数 \( f(x) = x^2 \) の逆関数を求めなさい。ただし、定義域は \( x \geq 0 \) とします。

解答：

1. \( y = x^2 \)
2. 変数を入れ替えて \( x = y^2 \)
3. 解いて \( y = \sqrt{x} \)（ただし \( x \geq 0 \)）

したがって、 \[ f^{-1}(x) = \sqrt{x} \] となります。定義域の制限がないと逆関数が関数にならなくなるので注意が必要です。

例題3：合成関数の性質を使って確認

関数 \( f(x) = \frac{x – 1}{x + 1} \) に対して、その逆関数を求め、合成関数の性質が成り立つかを確認しなさい。

解答：

1. \( y = \frac{x – 1}{x + 1} \)
2. 入れ替えて \( x = \frac{y – 1}{y + 1} \)
3. 両辺の分母を払って \( x(y + 1) = y – 1 \)
4. 展開して \( xy + x = y – 1 \)
5. 整理して \( xy – y = -x – 1 \Rightarrow y(x – 1) = -x – 1 \)
6. したがって \( y = \frac{-x – 1}{x – 1} \)

この式を確認すると、\( f(f^{-1}(x)) = x \)、\( f^{-1}(f(x)) = x \) が成り立ちます。

まとめ

逆関数には3つの定義があります。それぞれの定義は視点が異なり、使いどころも異なります。

• 定義①：性質の確認に使う（合成関数）
• 定義②：グラフの対称性を見る（対応の入れ替え）
• 定義③：実際に式を求めるときに使う（代数的手法）

定義域や値域に注意しながら、状況に応じて定義を使い分けましょう。特に応用問題では、逆関数が本当に「関数」になっているか（すなわち1対1対応か）を見極めることが重要です。