目次

• 利潤関数とは？
• 逆需要関数とは？
• 利潤最大化と企業の意思決定
• 具体例：利潤関数と逆需要関数を使って計算してみよう
• まとめ

利潤関数とは？

経済学で「利潤関数」とは、企業がどれくらい儲けるか（利潤）を示す関数です。
まず、「利潤（profit）」とは何かをおさらいしましょう。

利潤は以下のように表されます：

$$ \text{利潤} = \text{収入} – \text{費用} $$

ここでの「収入」は売上高、「費用」は生産にかかるコストです。利潤関数は、生産量 \( q \) を変数として、収入と費用の差を関数の形で表したものです。

収入（売上）は「価格 × 数量」で計算されます。しかし、価格が一定とは限りません。需要と供給によって価格が変わる場合、「価格」は数量に依存する関数、つまり「逆需要関数」として表されます。

よって、利潤関数は次のように書けます：

$$ \pi(q) = p(q) \cdot q – C(q) $$

• \( \pi(q) \)：利潤関数（利益）
• \( p(q) \)：逆需要関数（価格は生産量に依存）
• \( C(q) \)：費用関数（生産量に応じた費用）

逆需要関数とは？

通常の需要関数は「価格を与えたとき、どれだけの量が売れるか」を示します。
一方、逆需要関数は「ある数量を市場に出したとき、それがいくらで売れるか」を示す関数です。

つまり、逆需要関数は次のように書けます：

$$ p(q) = \text{その数量を売るときの価格} $$

これは、需要曲線を「価格を数量の関数として表したもの」と考えればわかりやすいでしょう。

例えば、以下のような需要関数があるとします：

$$ q = 100 – 2p $$

これを変形すると逆需要関数になります：

$$ p(q) = 50 – 0.5q $$

この関数は、「たくさん売ろうとすればするほど、価格を下げないといけない」ことを示しています。

利潤最大化と企業の意思決定

企業の目的は一般に「利潤の最大化」です。
利潤関数を最大にするような生産量 \( q \) を選ぶ、というのが企業の基本的な行動です。

利潤関数が：

$$ \pi(q) = p(q) \cdot q – C(q) $$

で与えられるとき、利潤を最大にする \( q \) を求めるには、まず微分して最大値を探します。

$$ \frac{d\pi}{dq} = p(q) + p'(q) \cdot q – C'(q) $$ 最大化条件は： $$ \frac{d\pi}{dq} = 0 $$

この条件を使って、最適な生産量 \( q^* \) を計算できます。

具体例：利潤関数と逆需要関数を使って計算してみよう

以下のような設定を考えましょう：

• 逆需要関数： \( p(q) = 100 – q \)
• 費用関数： \( C(q) = 20q \)

このとき、利潤関数は：

$$ \pi(q) = (100 – q) \cdot q – 20q = 100q – q^2 – 20q = -q^2 + 80q $$

これを最大化するために微分します：

$$ \frac{d\pi}{dq} = -2q + 80 $$ 最大化条件： $$ -2q + 80 = 0 \Rightarrow q = 40 $$

よって、最適な生産量は \( q = 40 \)、このときの価格は：

$$ p(40) = 100 – 40 = 60 $$

そして利潤は：

$$ \pi(40) = -40^2 + 80 \cdot 40 = -1600 + 3200 = 1600 $$

つまり、40個生産し、1つ60円で売ると、利潤は1600円になります。

まとめ

• 利潤関数は「売上 – 費用」で、生産量を変数とした関数です。
• 逆需要関数は「価格が生産量にどう依存するか」を表します。
• 企業は利潤関数を最大にするように生産量を決定します。
• 数学的に求めるには、利潤関数を微分して最大化条件を使います。

利潤関数と逆需要関数の関係をしっかり理解することで、経済学の分析がよりスムーズになります。高校生の段階でも、基本的な数式を使って企業の行動をモデル化できることを、ぜひ実感してみてください。