この記事では、「四倍角の公式」について、高校生向けにわかりやすく徹底解説します。三角関数の基礎をもとに、段階的に証明を進めながら、よく出てくる例題や応用問題も紹介します。

目次

• 四倍角の公式とは
• 四倍角の公式の証明
• 具体例で理解する四倍角の公式
• 応用と考察
• まとめ

四倍角の公式とは

三角関数には「倍角の公式」というものがあります。これは角度を2倍・3倍・4倍したときの三角関数の値を、元の角度を使って表す公式です。
今回はその中でも「四倍角の公式」を扱います。

代表的な四倍角の公式は以下の通りです：

• \(\sin(4\theta) = 8\sin\theta\cos\theta(1 – 2\sin^2\theta)\)
• \(\cos(4\theta) = 8\cos^4\theta – 8\cos^2\theta + 1\)
• \(\cos(4\theta) = 1 – 8\sin^2\theta\cos^2\theta\)

これらは、三角関数の合成や展開において重要な役割を果たします。

四倍角の公式の証明

ステップ1：2倍角の公式を復習

まずは、次の2倍角の公式を復習しましょう。

• \(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\)
• \(\cos(2\theta) = \cos^2\theta – \sin^2\theta = 2\cos^2\theta – 1 = 1 – 2\sin^2\theta\)

ステップ2：4倍角の公式の導出

まず、\(\sin(4\theta)\) を導出してみましょう。

\(\sin(4\theta) = \sin(2 \cdot 2\theta)\)
これに2倍角の公式を使って、

\[ \sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta) \]

さらに、\(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\)、\(\cos(2\theta) = 1 – 2\sin^2\theta\) を使うと、

\[ \sin(4\theta) = 2 \cdot (2\sin\theta\cos\theta) \cdot (1 – 2\sin^2\theta) = 4\sin\theta\cos\theta(1 – 2\sin^2\theta) \]

これを展開して、最終的に次のように表せます：

\[ \sin(4\theta) = 8\sin\theta\cos\theta(1 – 2\sin^2\theta) \]

次に、\(\cos(4\theta)\) を求めます。

\(\cos(4\theta) = \cos(2 \cdot 2\theta) = 2\cos^2(2\theta) – 1\)

ここで、\(\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta – 1\) なので、

\[ \cos(4\theta) = 2(2\cos^2\theta – 1)^2 – 1 \]

展開すると：

\[ = 2(4\cos^4\theta – 4\cos^2\theta + 1) – 1 = 8\cos^4\theta – 8\cos^2\theta + 1 \]

また別の形として、\(\cos(4\theta) = 1 – 8\sin^2\theta\cos^2\theta\) も導けます。

具体例で理解する四倍角の公式

例1：\(\theta = \dfrac{\pi}{12}\) のときの \(\sin(4\theta)\) を求める

\[ \theta = \dfrac{\pi}{12} \Rightarrow 4\theta = \dfrac{\pi}{3} \]

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

一方で、公式を使って確認：

\[ \sin\theta = \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right),\quad \cos\theta = \cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \]

これらの値は以下のように近似されます：

• \(\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \approx 0.2588\)
• \(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \approx 0.9659\)

公式を使うと：

\[ 8 \cdot 0.2588 \cdot 0.9659 \cdot (1 – 2 \cdot 0.2588^2) \approx 0.866 \approx \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

このように、四倍角の公式を使って正しい値が得られます。

応用と考察

三角関数の高次式の簡単化

例えば、三角関数を含む高次式を簡単にしたいとき、四倍角の公式は非常に便利です。例えば：

\[ \cos(4\theta) = 8\cos^4\theta – 8\cos^2\theta + 1 \]

これを使えば、\(\cos^4\theta\) のような高次の項を扱いやすくできます。

微積・物理での利用

物理の波動や振動の分野、またフーリエ級数の展開などで出てくる三角関数の変形にも使われます。

グラフによる理解

グラフを描いて \(\sin(\theta)\), \(\sin(2\theta)\), \(\sin(4\theta)\) の形を比較してみると、周期が半分ずつになっていくことが視覚的に理解できます。

まとめ

• 四倍角の公式は、2倍角の公式から順を追って導出できる
• 代表的な形には \(\sin(4\theta)\), \(\cos(4\theta)\) などがある
• 計算や証明だけでなく、グラフや物理の応用にも使える
• よく出る問題パターンを押さえると、試験でも役立つ

三角関数の公式は、一見複雑に見えますが、しっかりと導出を理解すれば、とても強力なツールになります。繰り返し練習して、マスターしていきましょう！