2. 行列の乗算
行列の乗算は、行列の列と行を用いて計算される演算です。行列 A の列数が行列 B の行数と一致する場合にのみ乗算できます。
例えば、行列 A が A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} で、行列 B が B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} の場合、乗算は以下のように計算されます：
A \times B = \begin{pmatrix} (1 \times 5 + 2 \times 7) & (1 \times 6 + 2 \times 8) \\ (3 \times 5 + 4 \times 7) & (3 \times 6 + 4 \times 8) \end{pmatrix}
これを計算すると、結果は：
A \times B = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}
行列の乗算は加算と異なり、順番が重要です。つまり、 A \times B \neq B \times A である場合があります。
3. 逆行列の計算
逆行列とは、行列 A とその逆行列 A-1 を掛け合わせると単位行列になる行列のことです。すなわち、 A \times A^{-1} = I となります。
例えば、2x2行列の場合、逆行列は次の式で求めることができます：
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} ただし、 A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} であり、 \text{det}(A) = ad - bc です。
例えば、 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} の場合、行列 A の逆行列は：
A^{-1} = \frac{1}{(1 \times 4 - 2 \times 3)} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}
4. 行列の転置
行列の転置とは、行列の行と列を入れ替える操作です。行列 A の転置行列は A^T と表されます。
例えば、行列 A が A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} の場合、転置行列は：
A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}
転置は加算や乗算など、他の行列演算と組み合わせて使われます。
5. 行列演算の性質
行列演算にはいくつかの基本的な性質があります。以下にその主なものを示します。
- 加算の交換法則： 行列 A と B に対して、 A + B = B + A
- 加算の結合法則： 行列 A, B, C に対して、 (A + B) + C = A + (B + C)
- 乗算の結合法則： 行列 A, B, C に対して、 (A \times B) \times C = A \times (B \times C)
- 乗算の分配法則： 行列 A, B, C に対して、 A \times (B + C) = A \times B + A \times C
- 逆行列の性質： 行列 A が可逆であれば、 (A^{-1})^{-1} = A
- 転置の性質： 行列 A に対して、 (A^T)^T = A です。
これらの性質は、行列演算の多くの操作を行う際に非常に役立ちます。例えば、行列の加算や乗算を行う際に順序や結合を自由に変えることができるため、計算を簡素化することができます。
