つまり、以下が必要十分条件です：

証明の流れと解説

（⇒）単射ならば核が自明

仮定：\( T \) は単射。
示すべきこと：\( \ker(T) = \{ \mathbf{0} \} \)

定義より、\( T(v) = \mathbf{0} \) を満たす \( v \) を考えると、\( T(v) = T(\mathbf{0}) \)。

単射性より、\( v = \mathbf{0} \)。よって、\( \ker(T) = \{ \mathbf{0} \} \)。

（⇐）核が自明ならば単射

仮定：\( \ker(T) = \{ \mathbf{0} \} \)
示すべきこと：\( T(v_1) = T(v_2) \) ならば \( v_1 = v_2 \)

\( T(v_1) = T(v_2) \) ⇔ \( T(v_1 – v_2) = \mathbf{0} \) ⇔ \( v_1 – v_2 \in \ker(T) \)

核が自明なので、\( v_1 – v_2 = \mathbf{0} \) ⇔ \( v_1 = v_2 \)。よって単射。

具体例で理解を深める

例1：単射な線形写像

\( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) を次のように定めます。

このとき、核を調べます：

よって核は \(\{\mathbf{0}\}\) なので単射。

例2：単射でない線形写像

\( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \)、\( T(x, y) = (x, 0) \)

このとき、核は \( \{ (0, y) \mid y \in \mathbb{R} \} \) で無限に存在するため、単射ではない。

行列としての解釈

線形写像 \( T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) は、行列 \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) により表されることがあります：

このとき、\( T \) が単射 ⇔ \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) の唯一の解が \( \mathbf{x} = \mathbf{0} \) ⇔ \( \operatorname{rank}(A) = n \)

つまり、列ベクトルが線形独立ならば写像は単射。

関連する概念との関係

核と像の次元の関係

次元定理（rank-nullity theorem）によれば、

したがって、核が自明である ⇔ 像の次元が最大（=定義域の次元） ⇔ 単射。

全射や全単射との違い

• 単射：核が自明。
• 全射：像が終域全体。
• 全単射：単射かつ全射（可逆な線形写像）

逆写像の存在

線形写像が全単射 ⇔ 逆写像（線形）が存在 ⇔ 行列が正則（正方行列で行列式非ゼロ）

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