目次

• 行列のトレースとは？
• トレースの計算方法
• トレースの性質
• 例題と解説
• トレースの応用
• まとめ

行列のトレースとは？

行列のトレース（trace）とは、正方行列の対角成分の総和のことです。
\( n \times n \) の正方行列 \( A \) に対して、トレースは次のように定義されます。

\[ \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} \]

ここで \( a_{ii} \) は行列 \( A \) の主対角成分です。
たとえば、次のような行列を考えます：

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \\ 5 & 0 & -2 \end{bmatrix} \]

このとき、主対角成分は \( 2, 3, -2 \) なので、トレースは次のようになります： \[ \mathrm{tr}(A) = 2 + 3 + (-2) = 3 \]

トレースの計算方法

トレースの計算は非常に簡単で、対角成分だけを足し合わせるだけです。
行列のサイズが大きくても、非対角成分は無視して構いません。

例として、次の行列のトレースを計算してみましょう： \[ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 & 9 \\ 10 & 11 & 12 & 3 \end{bmatrix} \] 主対角成分は \( 1, -1, 0, 3 \) なので、 \[ \mathrm{tr}(B) = 1 + (-1) + 0 + 3 = 3 \]

トレースの性質

トレースには以下のような重要な性質があります：

• 線形性： \( \mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B) \)、および \( \mathrm{tr}(cA) = c \cdot \mathrm{tr}(A) \)
• 転置に関して不変： \( \mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(A^\top) \)
• 積に関して交換的： \( \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA) \)、ただし \( AB \) および \( BA \) が定義されている場合
• 固有値の総和： トレースは行列の固有値の総和に等しい（重複あり）

例として、次のような行列 \( C \) を考えましょう：

\[ C = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \]

この行列の固有値を求めると、\( \lambda_1 = 5 \), \( \lambda_2 = 2 \) になります。
トレースは \( 4 + 3 = 7 \)、固有値の和も \( 5 + 2 = 7 \) です。

例題と解説

例題1：

行列 \[ D = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \] のトレースを求めよ。

主対角成分は \( 0, 0 \) なので、 \[ \mathrm{tr}(D) = 0 + 0 = 0 \]

例題2：

\[ E = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \]

主対角成分はすべて \( 5 \)、3つあるので、 \[ \mathrm{tr}(E) = 5 + 5 + 5 = 15 \] このような行列は「スカラー行列」と呼ばれ、トレースは成分 \( \times \) 次元数で計算できます。

トレースの応用

トレースは以下のような場面で重要な役割を果たします：

• 物理学： テンソルの不変量（例：応力テンソルの主不変量）として
• 統計学： 分散・共分散行列の次元削減（例：主成分分析）
• 機械学習： 損失関数のトレース正則化やカーネル法の評価
• 量子力学： 密度行列の期待値やトレース演算子
• 微分幾何学： 曲率テンソルのスカラー量（リッチ曲率など）

また、トレースは演算子のスペクトル（固有値）の合計として定義されるため、固有値問題と非常に関係が深い概念です。

まとめ

行列のトレースは単に「対角成分の和」という単純な定義ながら、線形代数の基本から物理学・統計学まで幅広く応用される重要な概念です。
定義、性質、計算、応用をしっかりと理解しておくことで、より高度な数学的議論にも対応できるようになります。