超越数と代数的数の違いとは？定義と豊富な例で完全理解
目次
超越数と代数的数の定義
数学における数の分類の一つに、「代数的数」と「超越数」という区分があります。
代数的数（algebraic number）とは、有理係数の多項式方程式 \[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0 \quad (a_i \in \mathbb{Q},\, a_n \ne 0) \] の解として得られる実数または複素数のことを言います。
一方で、超越数（transcendental number）とは、どのような有理係数の多項式の解にもならない数です。つまり、代数的数ではない数です。
代数的数の性質と例
代数的数には以下のような性質があります：
- すべての有理数（例：\( \frac{1}{2}, -3, 0 \)）は代数的数です。なぜなら、例えば \( x – \frac{1}{2} = 0 \) のような1次方程式で表せるからです。
- 平方根や立方根などの無理数でも、代数的なものは代数的数です（例：\( \sqrt{2}, \sqrt[3]{5} \)）。
- 複雑な代数的数も存在します（例：\( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) は黄金比で、2次方程式 \( x^2 – x – 1 = 0 \) の解です）。
代数的数は無限に存在し、かつ全体としては可算集合です。 つまり、自然数と一対一に対応づけられる数えられるほどの個数しかありません。
超越数の性質と例
超越数は代数的数でない数であり、その性質ゆえに「普通の手段では作り出せない」ように感じられることがあります。
代表的な超越数の例には次のようなものがあります：
- \( \pi \)：円周率。1882年、リンドマンによって超越数であることが証明されました。
- \( e \)：自然対数の底。1873年、エルミートにより超越数であることが証明されました。
- \( 2^{\sqrt{2}} \)：ゲルフォント＝シュナイダーの定理により、特定の条件下で超越数であることが示されました。
超越数は非代数的なため、代数的な方法で厳密に構成することはできません。 しかし、驚くべきことに、実数全体の中では代数的数よりも超越数のほうが「圧倒的に多い（非可算）」のです。
代数的数と超越数の違い
以下に代数的数と超越数の違いをまとめます。
| 性質 | 代数的数 | 超越数 |
|---|---|---|
| 定義 | 有理係数多項式の解 | どの有理係数多項式の解にもならない |
| 存在例 | \( \sqrt{2}, \frac{1}{2}, -5, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \) | \( \pi, e, 2^{\sqrt{2}} \) |
| 集合の大きさ | 可算集合 | 非可算集合 |
| 構成の難易度 | 比較的容易 | 非常に困難 |
歴史的背景と発見の経緯
超越数の概念は18世紀にまでさかのぼりますが、実際に存在が示されたのは19世紀に入ってからです。最初に超越数としてその存在が確実に証明されたのはリウヴィル数で、1844年にジョゼフ・リウヴィルがその存在を示しました。
その後、19世紀後半には、リンドマンによる \( \pi \) の超越性の証明（1882年）、エルミートによる \( e \) の超越性の証明（1873年）など、超越数の研究が進みました。
これらの成果により、円の正方形化（定規とコンパスだけで円と同じ面積を持つ正方形を作図すること）が不可能であることが証明されました。これは、円周率 \( \pi \) が超越数であるためです。
応用や関連分野
超越数と代数的数の研究は、数論や代数学だけでなく、数学基礎論や解析学、さらには理論計算機科学にも関連しています。
- 数学基礎論：実数の分類や可算性・非可算性の議論に重要な役割を果たします。
- 暗号理論：一部の数論的手法において、数の分類がセキュリティの理論基盤になることがあります。
- 数学教育：高校や大学の数学教育で数の多様性と奥深さを理解させる題材になります。
このように、超越数と代数的数の区別は、数の深い理解につながる非常に重要な概念です。
