固有ベクトルがわかる！定義・求め方・固有空間まで徹底解説
目次
固有ベクトル・固有値の定義
行列 \( A \) に対して、ゼロベクトルでないベクトル \( \mathbf{v} \) とスカラー \( \lambda \) が存在して、
\[ A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]
を満たすとき、\( \mathbf{v} \) を 固有ベクトル、\( \lambda \) を 固有値 と呼びます。
これは、行列 \( A \) による変換がベクトル \( \mathbf{v} \) の向きを変えず、長さ（スカラー倍）のみを変えることを意味しています。
固有ベクトル・固有値の求め方
固有値と固有ベクトルを求める手順は以下の通りです。
- 行列 \( A \) の固有方程式を立てる：\[ \det(A – \lambda I) = 0 \] この式の解 \( \lambda \) が固有値です。
- それぞれの固有値に対して、次の連立一次方程式を解く： \[ (A – \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0} \] ここで得られる非零解が固有ベクトルです。
注意点：
- \( \mathbf{v} = \mathbf{0} \)（ゼロベクトル）は固有ベクトルとして認められません。
- 固有値は複数存在する場合があります（重解含む）。
固有空間とは？
固有空間とは、ある固有値 \( \lambda \) に対応する全ての固有ベクトル（およびゼロベクトル）からなるベクトル空間です。
つまり、固有空間 \( E_\lambda \) は次のように定義されます：
\[ E_\lambda = \{ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \mid (A – \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0} \} \]
これは \( A – \lambda I \) の核（null space）に一致します。
固有ベクトル・固有空間の性質
- 異なる固有値に対応する固有ベクトルは線形独立です。
- 固有空間の次元を「幾何的重複度」と呼びます。
- 固有値の重複度（代数的重複度）は特性多項式におけるその固有値の重解の次数です。
- 対称行列は常に実固有値を持ち、直交固有ベクトル系を持つ（スペクトル定理）。
- 対角化可能な行列とは、固有ベクトルで構成された基底を持つ行列のことです。
具体例で理解しよう
行列：
\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \]
まず、固有方程式を立てます：
\[ \det(A – \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 4 – \lambda & 1 \\ 2 & 3 – \lambda \end{pmatrix} = (4 – \lambda)(3 – \lambda) – 2 = \lambda^2 – 7\lambda + 10 \]
したがって、固有方程式は： \[ \lambda^2 – 7\lambda + 10 = 0 \Rightarrow \lambda = 5, 2 \]
それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めます。
固有値 \( \lambda = 5 \) の場合：
\[ (A – 5I) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow -x + y = 0 \Rightarrow y = x \]
したがって、固有ベクトルは： \[ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ の定数倍} \]
固有値 \( \lambda = 2 \) の場合：
\[ (A – 2I) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow 2x + y = 0 \Rightarrow y = -2x \]
したがって、固有ベクトルは： \[ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \text{ の定数倍} \]
このようにして、行列 \( A \) は2つの固有値（5, 2）とそれぞれに対応する固有ベクトルを持ち、対角化可能です。
