約数の個数を極める！高校数学の応用問題を徹底解説
目次
約数の個数の基本
整数には、自分自身を割り切ることができる整数（正の整数）としての「約数」が存在します。
例えば、12の正の約数は1, 2, 3, 4, 6, 12の6個です。
ここで大切なのは、約数の個数は「どのような素因数を持っているか」「それらの指数がいくつか」によって決まるということです。
約数の個数の求め方
約数の個数を求めるには、次の手順を使います。
- 与えられた自然数を素因数分解する
- 各素因数の指数に1を加え、それらをすべて掛け合わせる
たとえば、
\[ 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \]
このとき、約数の個数は \[ (2+1)(2+1)(1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18 \] となります。
応用例題とその解説
例題1：条件を満たす整数の個数
問題：1000以下の正の整数で、約数の個数がちょうど6個であるものをすべて求めよ。
解法：
約数の個数が6になる形にはいくつかのパターンがあります。
- \(p^5\)：指数が5 → \(5+1 = 6\)
- \(p^1 \cdot q^1\)：\( (1+1)(1+1) = 4\) → だめ
- \(p^1 \cdot q^2\)：\((1+1)(2+1)=6\)
- \(p^2 \cdot q^1\)：同上
- \(p^1 \cdot q^1 \cdot r^1\)：\((1+1)^3=8\) → だめ
つまり、以下の形が対象です：
- \(p^5\)
- \(p^2 \cdot q^1\)
- \(p^1 \cdot q^2\)
1. \(p^5 \leq 1000\) となる素数は \(2^5 = 32\), \(3^5 = 243\), \(5^5 = 3125\) → 1000超えなので、\(p = 2, 3\) のみ
→ 該当する数：32, 243
2. \(p^2 \cdot q^1\)：試しにいくつか調べていく（\(p\)と\(q\)は異なる素数）
例：\(2^2 \cdot 3 = 12\), \(2^2 \cdot 5 = 20\), \(3^2 \cdot 2 = 18\), など
このようにしてすべての組合せを調べ、1000以下の数値だけをリストアップすれば、条件を満たす数が求められます。
例題2：最大の約数の個数を持つ数
問題：100以下の自然数で、最も多くの約数を持つ数を求めよ。
解法：
実際に1〜100までの整数の中で、約数の個数を調べます。
例えば：
- 60 → \(2^2 \cdot 3 \cdot 5\) → 約数の個数 \((2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\)
- 72 → \(2^3 \cdot 3^2\) → 約数の個数 \((3+1)(2+1) = 4 \cdot 3 = 12\)
- 84 → \(2^2 \cdot 3 \cdot 7\) → 約数の個数 \((2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\)
- 96 → \(2^5 \cdot 3\) → \((5+1)(1+1) = 6 \cdot 2 = 12\)
実際には、最大は「\(\boldsymbol{60, 72, 84, 90, 96}\)」など、12個の約数を持つ数が複数あります。
さらにレベルアップした挑戦問題
問題1：nが10000以下のとき、約数の個数が最大となるnを求めよ。
この問題は実は「highly composite number（高合成数）」と関連があります。多くの素因数を小さい指数で持つ数が、最も多くの約数を持ちやすいです。
10000以下では、7560 が約数の個数が最多（約64個）になります。
問題2：2つの異なる自然数a, bの積が360で、aとbの約数の個数が等しくなるような(a, b)をすべて求めよ。
360 の約数のペアで \(a \cdot b = 360\) を満たすものを全て調べ、\(\text{約数の個数}(a) = \text{約数の個数}(b)\) を満たすものを抽出します。
例：
- \((a, b) = (20, 18)\)：\(20 = 2^2 \cdot 5\), 約数の個数 = \((2+1)(1+1) = 6\)
- \(18 = 2 \cdot 3^2\), 約数の個数 = \((1+1)(2+1) = 6\)
よって、このペアは条件を満たします。
まとめ
約数の個数は、単に数を割って調べるだけでなく、素因数分解を活用することで、理論的に効率よく求めることができます。特に、指数に1を足してかけ合わせるというルールをマスターすれば、多くの整数問題を解けるようになります。
応用問題では、与えられた条件に合う形を素因数分解の視点から分類・整理することで、漏れなく答えを導くことができます。整数の構造に着目しながら、粘り強く取り組みましょう。
