この記事では、フェルマー数について基本から応用まで詳しく解説します。例題も豊富に紹介するので、数論に興味のある高校生にとって理解の助けになるでしょう。

目次

• フェルマー数とは？
• フェルマー数の性質
• 基本的な例題
• 応用問題に挑戦
• フェルマー数の歴史的意義
• まとめ

フェルマー数とは？

フェルマー数（Fermat Number）とは、次の形の自然数のことをいいます。

\[ F_n = 2^{2^n} + 1 \quad (n \in \mathbb{N}) \]

たとえば、最初のいくつかのフェルマー数は次の通りです：

• \( F_0 = 2^{2^0} + 1 = 2^1 + 1 = 3 \)
• \( F_1 = 2^{2^1} + 1 = 2^2 + 1 = 5 \)
• \( F_2 = 2^{2^2} + 1 = 2^4 + 1 = 17 \)
• \( F_3 = 2^{2^3} + 1 = 2^8 + 1 = 257 \)
• \( F_4 = 2^{2^4} + 1 = 2^{16} + 1 = 65537 \)

フェルマーはこれらすべてが素数だと予想しましたが、実はそれ以降の \( F_n \) は素数ではないものが多く存在します。

フェルマー数の性質

• すべてのフェルマー数は奇数です。
• 互いに素である：異なるフェルマー数同士は互いに素です。
• 素因数分解が難しい：\( n \geq 5 \) ではフェルマー数は非常に大きく、素因数分解が困難です。

この互いに素であるという性質には次のような証明があります：

\[ \gcd(F_n, F_m) = 1 \quad \text{（ただし } n \neq m \text{）} \]

これは、フェルマー数の積に関する関係式から示されます。

基本的な例題

例題1：フェルマー数の計算

\( F_3 \) を計算してみましょう。

\[ F_3 = 2^{2^3} + 1 = 2^8 + 1 = 256 + 1 = 257 \]

よって、\( F_3 = 257 \) です。

例題2：フェルマー数が奇数であることの証明

フェルマー数 \( F_n = 2^{2^n} + 1 \) において、\( 2^{2^n} \) は偶数なので、それに1を足すと必ず奇数になります。

例題3：互いに素であることの確認

\( F_0 = 3 \) と \( F_1 = 5 \) の最大公約数を求めます：

\[ \gcd(3, 5) = 1 \]

したがって、確かに互いに素です。

応用問題に挑戦

応用例題1：フェルマー数が素数かどうか判定する

\( F_5 = 2^{32} + 1 = 4294967297 \) が素数か調べます。

実際には、これは素数ではなく、次のように素因数分解されます：

\[ 4294967297 = 641 \times 6700417 \]

したがって、フェルマー数は常に素数とは限らないことが分かります。

応用例題2：フェルマー数を利用した正多角形の作図

ガウスは、フェルマー数が素数であれば、それを辺とする正多角形はコンパスと定規で作図可能であることを示しました。

例：\( F_0 = 3 \)、\( F_1 = 5 \)、\( F_2 = 17 \)、\( F_3 = 257 \)、\( F_4 = 65537 \) はいずれも素数なので、正3角形・正5角形・正17角形などは作図可能です。

フェルマー数の歴史的意義

フェルマー数は、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーによって考案されました。彼はすべての \( F_n \) が素数であると予想しましたが、レオンハルト・オイラーが \( F_5 \) を合成数と証明し、その予想は誤りとされました。

この予想とその反例は、数学的帰納法の重要性や、反例の持つ意味の大きさを示す良い教材となっています。

まとめ

• フェルマー数は \( F_n = 2^{2^n} + 1 \) で表される数。
• 最初の5つのフェルマー数は素数だが、それ以降は素数とは限らない。
• 互いに素である、奇数である、作図可能性など、様々な性質を持つ。
• 応用問題にも活用されるトピックで、数学オリンピックや大学入試でも重要。

フェルマー数は一見すると特殊な数に見えますが、その背後には深い数学的構造があります。興味を持ったらさらに調べてみましょう。