目次

• ピタゴラス数とは？
• ピタゴラス数の基本性質
• ピタゴラス数の生成方法
• 応用例題とその解説
• 入試での出題傾向と対策

ピタゴラス数とは？

ピタゴラス数とは、直角三角形の3辺の長さがすべて整数であるときの、その3つの整数の組を指します。言い換えると、自然数 \(a, b, c\) が \[ a^2 + b^2 = c^2 \] を満たすとき、\((a, b, c)\) はピタゴラス数（三つ組）と呼ばれます。

最も有名な例として次のようなものがあります：

• \((3, 4, 5)\)：\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)
• \((5, 12, 13)\)：\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\)
• \((7, 24, 25)\)：\(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2\)

ピタゴラス数の基本性質

ピタゴラス数には以下のような性質があります。

• 最小のピタゴラス数は \((3, 4, 5)\)
• 3つの数の最大公約数が1のとき、そのピタゴラス数は原始ピタゴラス数と呼ばれる
• 原始ピタゴラス数から他のピタゴラス数を作るには、すべての数を同じ自然数で掛ければよい（例：\((3, 4, 5)\) → \((6, 8, 10)\)）

ピタゴラス数の生成方法

2つの自然数 \(m, n\)（\(m > n\)）を使って、以下の式でピタゴラス数を生成できます： \[ a = m^2 – n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2 \] この方法で生成される三つ組は、常にピタゴラス数になります。

例：

• \(m = 2, n = 1\)：\((3, 4, 5)\)
• \(m = 3, n = 2\)：\((5, 12, 13)\)
• \(m = 4, n = 1\)：\((15, 8, 17)\)

応用例題とその解説

例題1：直角三角形の辺を求める

長さが整数である3辺からなる直角三角形があり、短い2辺の一つが6 cm、他の1辺が8 cmです。斜辺の長さを求めなさい。

解法：ピタゴラスの定理より、 \[ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] したがって、斜辺は10 cm。

例題2：整数解を持つ直角三角形を見つける

次のうちピタゴラス数となる組はどれか。 (1) \((6, 8, 10)\) (2) \((9, 12, 15)\) (3) \((7, 24, 26)\)

(1)：\(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\) → 正解
(2)：\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\) → 正解
(3)：\(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 ≠ 26^2 (=676)\) → 誤り

例題3：与えられた周囲の長さから辺を求める

周の長さが60 cmの直角三角形で、3辺がピタゴラス数であるとする。そのような辺の組を求めよ。

考えられるピタゴラス数の候補：
\((10, 24, 26)\)：和 = 60
したがって、答えは \((10, 24, 26)\)

入試での出題傾向と対策

ピタゴラス数は、以下のような形で入試によく出題されます：

• 三平方の定理を使う問題の整数バージョン
• 選択肢からピタゴラス数を見抜く問題
• 図形の長さや面積を求める過程でピタゴラス数が登場

対策としては以下の点が重要です：

• 代表的なピタゴラス数を暗記する
• 生成方法を理解し、必要に応じて作れるようにする
• 三平方の定理と組み合わせて柔軟に使えるようにする

頻出ピタゴラス数一覧

• \((3, 4, 5)\)
• \((5, 12, 13)\)
• \((6, 8, 10)\)
• \((7, 24, 25)\)
• \((8, 15, 17)\)
• \((9, 12, 15)\)
• \((10, 24, 26)\)

これらを押さえておくことで、計算を大幅にスピードアップすることができます。