【保存版】三次方程式の解き方を基本から応用まで徹底解説！
三次方程式は、数学I・IIの学習を深めた高校生にとって次のステップとなる重要なテーマです。このページでは、三次方程式の基本から応用まで、丁寧に解説していきます。因数分解、実数解の求め方、解の公式の紹介、虚数解まで、例題を交えて徹底的に理解できるように構成しています。
目次
三次方程式の基本形
三次方程式とは、次のような形をした方程式のことです：
\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad (a \ne 0) \]
最高次数が3であるため「三次」と呼ばれます。
因数分解による解法
三次方程式は、因数分解によって解ける場合があります。例えば、
\[ x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 \]
これは以下のように因数分解できます：
\[ (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0 \]
よって、解は \( x = 1, 2, 3 \) です。
有理数解の判定（因数定理）
因数定理を使うと、三次方程式の有理数解を予測することができます。
係数がすべて整数のとき、定数項 \( d \) の約数が解である可能性があります。例として：
\[ x^3 + 2x^2 – 5x – 6 = 0 \]
定数項 -6 の約数を代入して試すと、\( x = -1 \) のときに 0 になります：
\[ (-1)^3 + 2(-1)^2 – 5(-1) – 6 = -1 + 2 + 5 – 6 = 0 \]
したがって、\( x + 1 \) を因数にもつことがわかり、式を因数分解して解くことができます。
三次方程式の解の公式
一般の三次方程式に対しては、以下のような複雑な解の公式も存在します。
三次方程式を次のように変形します：
\[ x^3 + px + q = 0 \]
このとき、カルダノの公式を用いて解は：
\[ x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} \]
ですが、現実的には因数分解や数値的手法の方がよく使われます。
基本例題とその解説
例題1：
\[ x^3 – 4x^2 – 7x + 10 = 0 \]
有理数解を試してみると、\( x = 1 \) が解になります。よって：
\[ (x – 1)(x^2 – 3x – 10) = 0 \]
さらに二次式を解くと：
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} \]
よって解は \( x = 1, 5, -2 \)
例題2：
\[ x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0 \]
この式は以下のように因数分解できます：
\[ (x + 1)^3 = 0 \Rightarrow x = -1 \]
応用問題とその解説
例題3（係数に文字が含まれる）：
\[ x^3 – (a + 3)x^2 + (3a + 2)x – 2a = 0 \]
\( x = 1 \) を代入すると：
\[ 1 – (a + 3) + (3a + 2) – 2a = 0 \Rightarrow 1 – a – 3 + 3a + 2 – 2a = 0 \]
確かに 0 になるので、因数分解可能です：
\[ (x – 1)(x^2 – ax – 2a) = 0 \]
例題4（重解をもつ場合）：
\[ x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = 0 \]
これは：
\[ (x – 1)^3 = 0 \Rightarrow x = 1 \]
重解（重複する解）をもつ典型的な例です。
虚数解・複素数解を含む場合
三次方程式の解は、必ず実数解を1つ以上もちます（実係数のとき）。他の2つの解が虚数になることがあります。
例：
\[ x^3 – 3x + 2 = 0 \]
有理数解は \( x = 1 \)（代入して確認）なので、因数分解して：
\[ (x – 1)(x^2 + x – 2) = 0 \]
二次式の解は虚数になる場合もありますが、今回の例では：
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \Rightarrow x = 1, -2 \]
よってすべて実数解となりました。
別の例として：
\[ x^3 – x + 1 = 0 \]
この方程式は実数解が1つ、残り2つは虚数解（複素共役）になります（詳細は数値的手法で確認）。
以上、三次方程式の基礎から応用までを徹底的に解説しました。練習を積むことで理解が深まり、様々な場面で活用できるようになります。
